第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知,a b R ∈，复数21ia bi i+=+，a b +=( ) A ． 2 B ．1 C ．0 D ．2-2. 已知集合{}22M x x x =<+，{}N x x a =>，若M N ⊆，则a 的取值范围为（ ） A ．](,1-∞- B ．](,2-∞ C ．[)2,+∞ D ．[)1,-+∞ 3. 已知向量a (1,2)=，b (,1)m =-，若a ∥b ，则实数m 的值为 ( ) A ．3 B ．3- C ．12 D ． 12- 4. 若4cos 5α=-，且α为第二象限角，则tan α=（ ） A ．43- B ．34- C ．43D ．345. 在等差数列{}n a 中，若3453a a a ++=，88a =，则12a 的值是（ ） A ．64 B ．31 C ． 30 D ．156. 函数y ＝x sin x ＋1x 2的部分图象大致为( )7. 已知平面α，β和直线a ，b ，则下列说法正确的是（ ） A.若a ∥α，b ∥β，且α∥β，则a ∥b B. 若a α⊂，b β⊂，且a ∥b ，则α∥βC. 若a α⊥，b β⊥，且a ∥b ，则α∥βD.若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b ⊥ 8. 数学猜想是推动数学理论发展的强大动力， 是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素 之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想： 对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3 再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循 环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜 想设计的一个程序框图，则输出的i 为 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 89. 已知实数x ，y 满足:p 22(1)(1)1x y -+-≤，:q 实数x ，y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p 是q 的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件10. 在四面体ABCD 中，若AB ＝CD ＝3，AC ＝BD ＝2，AD ＝BC ＝5，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )11. 已知双曲线:C 22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点为1F ，离心率为5，P 是双曲线C的右支上的动点，若(,2)Q c a （c 为焦半距），且1PF PQ +的最小值为8，则双曲线C 的方程式 ( )A. 2212y x -= B. 2212x y -= C. 2214y x -= D. 2214x y -= 12. 已知函数ln ()x f x x=，若方程2()()1f x tf x +=-有四个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(,)e -∞-B ．1(,)e e -∞--C ．(,2)-∞-D ．1(,2)e e---第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13. 点)2,3(A 是圆9)1()2(22=-+-y x 内一点，则过点A 的最短弦长为 ． 14.函数()sin f x x x ωω=(0)ω>的图像在y 轴右侧的第一个最低点的横坐标为1112π，则实数ω= ． 15.在区间[]1,1-上随机取一个数k ，则直线(2)y k x =+与圆221x y +=有公共点的概率为 ．16. 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A ·sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →||CA →＋y ·CB →||CB→，则xy 的最大值为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若21,432==S a ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令14log +=n n a b ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n n b b 的前n 项和n T ．18. （12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.（Ⅰ）求证：P A ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面P AC ；（Ⅲ）当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积.19.（12分）某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析； （Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．数学二等奖学生得分语文二等奖 学生得分7 91 4 8 9 4 7 62 0 39频率.. 科目：语文O 频率 .0 .0 .0 科目：数学O20. （12分）已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在y 轴上的投影是Q ， 且2P A →·PB →＝|PQ →|2.（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过F (1，0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹C 于点G ，H 和M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点.求证：直线E 1E 2恒过定点.21.（12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为22312cos ρθ=+，直线l 的极坐标方程为4sin cos ρθθ=+. （Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．23.选修4－5: 不等式选讲已知函数,1()1,01x x f x x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，()()2,g x af x x a R =--∈.（Ⅰ）当0a =时，若()1g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）当1a =时，求函数()y g x =的最小值．数学试卷（文科）参考答案一、选择题二、填空题13.14.216.3三、解答题17. 【解析】Ⅰ由题意，设公比为(1)q q>，则()⎪⎩⎪⎨⎧=--=21114311qqaqa………………2分解得⎩⎨⎧==411qa或⎪⎩⎪⎨⎧==41161qa（舍）……………………………………………………5分所以14nna-=…………………………………………………………………………6分Ⅱ由题意，4log4nnb n==，所以122112(1)1n nb b n n n n+==-++（）………9分所以12341n n nT b b b b b b-=++++++L=1111111111121223344511n n n n-+-+-+-++-+--+L（）=1211n-+（）=21nn+……………………………………………………12分18. 【解析】(1)证明因为P A⊥AB，P A⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以P A⊥平面ABC. 又因为BD⊂平面ABC，所以P A⊥BD.(2)证明因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知P A⊥BD，又AC∩P A＝A，AC，P A⊂平面P AC，所以BD⊥平面P AC.又BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面P AC.(3)解因为P A∥平面BDE，平面P AC∩平面BDE＝DE，所以P A∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝12P A＝1，BD＝DC＝ 2.由(1)知P A ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以三棱锥E －BCD 的体积V ＝13DE ·S △BDC ＝16BD ·DC ·DE ＝13.19. 【解析】（Ⅰ）依题意：获数学二等奖的考生的比例是24.04.026.01.01=---， 所以考生总人数为：5024.012=（人）． ………………………………………2分 所以该考场考生中语文成绩为一等奖的人数为：4)238.016.01(50=⨯--⨯（人）． ………………………………………3分（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为1x 、2x 、21s 、22s ，88592909384811=++++=x ，…………………………………………4分85587868489792=++++=x ，…………………………………………5分225425472222221=++++=s ， ………………………………………6分6.115112462222222=++++=s ． ………………………………………7分所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．……………………………………8分（Ⅲ）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人………………………………………9分设两科成绩都是一等奖的3人分别为1A 、2A 、3A ，只有数学一科为一等奖的2人分别是1B 、2B ,只有语文一科为一等奖的1人是C ，所以随机抽取两人的基本事件为：21A A 、31A A 、11B A 、21B A 、C A 1、32A A 、12B A 、22B A 、C A 2、13B A 、23B A C A 3、21B B 、C B 1、C B 2共15种． …………………………………10分而两人两科成绩均为一等奖的基本事件为：21A A 、31A A 、32A A 共3种．……11分所以两人的两科成绩均为一等奖的概率51153==P . …………………………12分20. 【解析】(1)解 设点P 的坐标为(x ，y )，∴点Q 的坐标为(0，y ). ∵2P A →·PB →＝|PQ →|2，P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(2－x ，－y )，|PQ →|＝|x |， ∴2[(－2－x )(2－x )＋y 2]＝x 2， 化简得点P 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明 当两直线的斜率都存在且不为0时， 设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， l MN ：y ＝－1k (x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k (x －1)，消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 则Δ>0恒成立.∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1.∴GH 中点E 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.同理，MN 中点E 2的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 2＋2，k k 2＋2， ∴12E E k ＝－3k2(k 2－1)，∴12E E l 的方程为y －kk 2＋2＝－3k 2(k 2－1)⎝⎛⎭⎫x －2k 2＋2， 即y ＝－3k 2(k 2－1)⎝⎛⎭⎫x －23， ∴直线E 1E 2恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0；当两直线的斜率分别为0和不存在时，12E E l 的方程为y ＝0，也过点⎝⎛⎭⎫23，0. 综上所述，12E E l 过定点⎝⎛⎭⎫23，0.21. 【解析】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ……………………1分 当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x -'=-=，………………2分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………3分 （Ⅱ）1()ln a h x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………4分 ① 当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； …………………5分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ……………6分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即 函数1()ln a h x x a x x +=+-在[]1,e 上的最小值小于零. …………………7分 由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0ea h a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ……………………8分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ……………………9分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +，因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. …………………11分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ……………………12分22. 【解析】解：(1)C 1：3x 2＋y 2＝3，l ：x ＋y ＝4.(2)法1：设Q (cos θ，3sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|cos θ＋3sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ－42＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－42≥22＝2当且仅当θ＋π6＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π3(k ∈Z )时，Q 点到直线l 距离的最小值为 2. 法2：设Q (x ，y )，直线l ：x ＋y ＝c 与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出c ，则Q 点到直线l 距离的最小值为两平行直线间的距离．23. 【解析】解：(1)当a ＝0时，g (x )＝－|x －2|(x >0)，g (x )≤|x －1|＋b －b ≤|x －1|＋|x －2||x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1，当且仅当1≤x ≤2时取等号，实数b ∈[－1，＋∞)．(2)当a ＝1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x －2， 0<x <12x －2， 1≤x ≤22， x >2，当0<x <1时，g (x )＝1x ＋x －2>2x ·1x －2＝0；当x ≥1时，g (x )≥0，当且仅当x ＝1等号成立；故当x ＝1时， y ＝g (x )取得最小值0.。