那么数列 {xn } 的极限存在, 且 lim x n a .
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
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准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x0 , ) (或 | x | X )时,有
o
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) x lim g ( x ) A , lim h ( x ) A , x x x
x
2 x 2 x 1 2 解一 原式 lim(1 ) (1 ) ) lim(1 x x x 1 x 1 x 1
2 lim (1 ) x x 1
x 1 2
2 ) (1 x 1
2
e
2
解二
1 x (1 ) x 原式 lim x 1 x (1 ) x
第一章
第七节
两个重要极限
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一、
sin x lim 1 x 0 x
如果数列{ xn },{ yn } 及 { zn } 满足下列条件:
1.夹逼准则
准则Ⅰ
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
n
( 2) lim yn a , lim zn a ,
x 2 sin 2 2 lim 2 x 0
xLeabharlann 1 sin 1 2 lim x 1 2 2 x0 2
x 2
2
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tan x sin x 例6 求 lim x 0 x3 sin x(1 cos x) 原式 lim 3 x 0 x cos x 1 1 sin x 1 cos x 1 lim( ) 1 1 2 x 0 2 2 x x cos x
0
1 x
9 e 9
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( x )
0
( x )
0
那么 lim f ( x )存在, 且等于
x x0 ( x )
A.
y h( x ) y f ( x) y g( x )
A
A
A
（ （ x0
1
） ） x0 x0
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2
sin x 首先注意到 函数 对一切x 0都有定义 x sin x 设法构造一个“夹逼不等式”，使函数 x
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例1. 求
解: 令 t x ,
t 则 x 时， 1 t lim (1 1) lim
t
t
t
说明
( x) 1 ：若利用 lim (1 ( x ) ) ( x )
1 ) x lim ( 1 原式 x x
练习.
tan ( x ) lim 1 ( x ) 0 ( x)
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例3. 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
练习.
sin t t
1
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例4. 求
解: 原式 = 例5. 解:
sin x cos x 1 x
注
注
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例1
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
sin ( x) 1 说明: 计算中注意利用 (lim x ) 0 ( x )
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练习. 求下列极限:
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例2. 求
sin x 1 sin x 1 tan x lim lim 解: lim 1 lim x 0 cos x x 0 x cos x x 0 x x 0 x
e 2 1 e e
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练习1.
解
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练习2. 解 或
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内容小结
两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 1 ; 2. lim x sin ____ x x
在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个 函数 g(x), h(x) 之间，以便应用准则Ⅰ‘.
设单位圆 O , 圆心角AOB x , (0 x

2
)
O C A
1 x
扇形 OAB 的圆心角为 x ,
B D
OAB的高为BC , 作单位圆的切线，得ADO.
sin x BC ,
x 弧AB,
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1 z
利用变量代换可导出上述极限的一般形式：
（x ) 0
lim（ 1 ( x))
1 ( x)
e
( x )
lim (1
1 ( x) ( x)
)
e ,
1

型
注意这个极限的特征： 底为两项之和，第一项为1，第二项 是 无穷小量，指数与第二项互为倒数 。
结束
思考题
求极限
x
lim 3 9
x
1 x x

思考题解答
x
lim 3 9
x
1 x x

lim 9
x
3x
1 x x

1 9 lim 1 x x 3

1 3x x
1 x 1 3
x
e, 则
1 e 1
k k lim 1 e 一般地 x x
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例2 解
k 结论： lim 1 x x
ax b

e
ka
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例3 求
x 1 lim x x 1
1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x 1 n e 1 4. lim (1 ) ____ ; n n
作业
P34 1 (1) (3) (5) (8) (9) (12) ; 2
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
练 习 题
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tan x AD,
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当 x ( 0 , π ) 时，
2
O C A
1 x
B D
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积 即 故有 亦即 显然有
1 sin x 2

1 tan x 2
(0 x π ) 2 (0 x π ) 2
sin x x tan x
例7 求 解 于是
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演示文稿
后 等
卷板机 卷板机 岶奣尛 目录 上页 下页 返回 结束
二、
lim(1 ) e
x 1 x x
1 n n
lim(1 ) e
n
lim(1
n
1 n 1 n 1
)
?e
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用x代替n,可得 (1) 当x 取实数
对任意正数 x，总有
时情形
n为非负整数，则有
1 x lim (1 ) e . x x
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(2) 当x 取实数
时情形
1 x lim (1 ) e x x
令 则
z 0
此极限也可写为
lim (1 z ) e