极限与连续๑
▪数列有界的充要条件是数列既有上界又有下界.
▪数列极限存在与否、极限是什么，与数列前面的有限项无关，只与后面的无穷多项有关.若改变数列有限项，不影响数列的极限.
▪数列极限的性质：
1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一.若 lim
n→∞x n=a，则lim
n→∞
x n+1=a
2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）
3)保号性：若lim
n→∞x n=a，lim
n→∞
y n=b，且a>b，则存在正整数N，当n>N时，恒有x n>y n.
若lim
n→∞
x n=a，且a>b(或a<b)，则存在正整数N，当n>N时，有x n>b(或x n<b)
若lim
n→∞
x n=a，且a>0(或a<0)，则存在正整数N，当n>N时，有x n>0(或x n<0)
▪函数极限lim
x→x0f(x)=A的充要条件是lim
x→x0−
f(x)=lim
x→x0+
f(x)=A
▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关.
即lim
x→x0f(x)存在⇌lim
x→x0−
f(x)=lim
x→x0+
f(x)
▪函数极限的性质：
1)极限的惟一性：若函数f(x)当x→x0（或x→∞）时有极限，则其极限惟一.
2)局部有界性
3)局部保号性
▪极限运算法则：
设limf(x)=A,limg(x)=B,则
1)lim[f(x)±g(x)]=A±B
2)lim[f(x)g(x)]=AB
3)当B≠0时，lim f(x)
g(x)= A B
4)lim[cf(x)]=climf(x) (c为常数) 5）lim[f(x)]k= [limf(x)]k(k为常数)
▪当a0≠0, b0≠0时，有lim
x→∞a0x m+a1x m−1+⋯+a m
b0x m+b1x m−1+⋯+b m
=
{
a0
b0
当n=m时
0 当 n>m时
∞ 当n<m时
▪复合函数运算法则：lim
x→x0f[φ(x)]=lim
u→u0
f(u)
▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n}{y n}{z n},满足条件：
1）y n≤x n≤z n（n=1,2,…）；2）lim
n→∞y n=lim
n→∞
z n=a，则数列{x n}收敛，且lim
n→∞
x n=a
▪函数的夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件：
1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0
f (x )存在且等于A. ▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.
即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.
▪重要极限Ⅰ：lim x→0 sinx x =1
▪重要极限Ⅱ：lim x→∞
(1+1x )x =e , lim x→0(1+x )1x =e ▪无穷小的性质：
1)有限个无穷小的代数和为无穷小.
2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小.
3)常量与无穷小的乘积为无穷小.
4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小.
5)有限个无穷小的积为无穷小.
▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.
▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小.
1.若lim βα
=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα
=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α)
4.若lim β
αk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.
5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)
6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′
▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能]
x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1;
1-cosx~
x 22；(1+x )a -1~ax (a ≠0) ;a x -1~xlna (a >0,a ≠1);√1+x n - 1~ x n
▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚
无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；
x ⟶x 0时，若f(x)为无穷小，且在x 0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则
1f(x)为无穷大.
[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]
▪连续：
函数在点x0处连续的充要条件是f(x)在x0处既左连续又右连续，且在x0有定义.即：
lim x→x0−f(x)=lim
x→x0+
f(x)=f(x0)
▪间断点：
x0是f(x)的间断点，f(x)在x0点处的左右极限都存在为第一类间断点. f(x)在x0点处左右极限至少有一个不存在，则x0是f(x)的第二类间断点.
第一类间断点中{可去间断点：左右极限相等跳跃间断点：左右极限不相等
第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.
▪初等函数：
连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.
一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则lim
x→x0
f(x)=f(x0).
最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.
有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.
介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.
零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。