南京商业学校教案
授课日期2015年月日第周时数课型新课课题§17.3复数的几何意义和三角形式
教学目标知识目标：了解复平面的概念；掌握复数的几何表示和向量表示；
理解复数的模、辐角及辐角主值的概念；掌握复数的
三角形式及其特征。
能力目标：会在复平面内描出表示复数的点及向量；会求复数的模和辐角、和辐角主值（特殊角）；会进行复数的三
角形式与代数形式的互化。
情感目标：培养学生数形结合的数学思想和辩证唯物主义思想。
教学重点用复平面上的点、向量和三角形式表示复数；复数的模和辐角、辐角主值的概念。
教学难点复数几何表示法的理解；复数几种表示形式的互化；复数辐角的求法。
教学资源课本，教学参考书，学习指导书，网络
教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。
学情分析（含更新、补充、删节内容）
复数的几何表示和向量表示是复数的两种常见形式，复数的向量表示学生不易理解的，教学时要充分揭示复数与向量之间的关系，并借助向量进一步加强学生对复数的理解。
板书设计 17.3复数的几何意义和三角形式
1. 复平面例1 例3
2. 复数的几何表示
3．复数的向量表示例2
4．复数的三角形式
教后记
教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）
师生活动
一、引入新课
根据复数的定义，复数表示为）（R b ,a bi a z ∈+=的形式，我
们把这种形式叫做复数的代数形式，复数还有其他表现形式吗？这些表示形式之间有什么关系？ 二、讲授新课
1．复平面
在平面上建立直角坐标系xOy ，横轴、纵轴上的坐标分别表示复数的实部和虚部，这样的平面叫做复平面，其中横轴叫做实轴，纵轴叫做虚轴。
2．复数的几何表示 有序实数对（)b ,a 与直角坐标系内的点一一对应的，由复数代数形式bi a z +=可以知道，任何一个复数）（R b ,a bi a z ∈+=，都可以有一个有序的实数对（b ,a ）唯一确定，即复数
图1 bi a z +=与有序实数对（b ,a ）之间一一对应。
由此可知，复数bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的（如图1所示），即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
我们把这种表示形式叫做复数的几何表示。
想一想：实数、纯虚数、虚数表示的点分别在复平面的什么位置？ （复平面内，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚
轴上，表示非纯虚数的点分别在四个象限内．） 3. 复数的向量表示
直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
r
学生思考并回答
图2 y
Z(b ,a ) O x
b a
把复数bi a z +=表示为向量）（b ,a OZ =，那么把向量OZ 的
模（长度）叫做复数bi a z +=的模，记作z
由图2容易得到，2
2b a bi a +=+，特别地，
0=b 时，bi a +是实数，它的模就等于a。
复数的模有以下性质：①复数的模是一个非负实数，即z 0≥；②互为共轭复数的两个复数的模相等，即z z
=。
必须注意，两个不全是实数的复数不能比较大小，但是它们的模可以比较大小。
以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线为终边的角称为复数bi a +的辐角，它表示向量OZ 的方向，复数0的辐角是任意的。
一个不等于零的复数bi a +的辐角不唯一，这些值相差π2的整数倍，即若θ是复数z 的一个辐角，那么）（Z k k ∈+θπ2也是复数z 的辐角，我们把复数在[)π20,内的辐角叫做辐角的主值，记作z arg 。
想一想：实数、纯虚数的三角形式分别是什么？
由图2可知，复数）（0≠+=a bi a z 的辐角主值z arg =θ所在
的象限与复数bi a z +=相对应的点()b ,a Z 所在的象限相同，并且
a b tan =
θ。
例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3 解：（1）
2
11122=+=+i
又
a b
tan =
θ=1，点（1,1）在第一象限。
所以
41π
θ=+=）（i arg
（2）
2
1332
2=-+=-）（）（i
有
31
-
=θtan ，点（
13-，）在第四象限，所以
学生思考并回答
师生共同完成
学生讨论并回答
611623ππ
πθ=
-
=-=）（i arg
想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?
4.复数的三角形式
如图2所示，设复数bi a +的模为r ，辐角为θ，则
⎩⎨
⎧==θθ
sin r b cos r a
于是bi a +=）（θθθθsin i cos r sin ir cos r +=+ 我们把复数的表示形式）（θθsin i cos r z +=称为复数的三角形式，这种表示形式是用复数的模和辐角来表示复数，复数0=z 的三角形式仍然是0=z
想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？
（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos
（3）
）（6655π
πsin i cos
+
复数的代数形式和三角形式之间可以相互转化，把复数的代数形式转化为三角形式时，通常取θ为复数的辐角主值。
例2 把下列复数转化为代数形式 （1）
）（65654π
πsin i cos
+
（2）
[]
）（）（0
045452-+-sin i cos 解：（1）
）（65654π
πsin i cos
+=i i 23221234+-=+-⨯
）（
（2）[]）（）（0
45452-+-sin i cos
i i -=-⨯=122
222）（
例3 把下列复数转化为三角形式
（1）-1；（2）i 2； （3） i -3
学生讨论并回答
复数的三角形式有三个特征：①模r 0≥;②括号内的实部是余弦，虚部是正弦，且是同一个辐角值θ的正弦和余弦③ 三个特征中只要有一个不满足，则表达式就不是复数的三角形式。
师生共同完成例2和例3
解：（1）22
01+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg ，所以 -1=ππsin i cos +
（2）
2202
2=+=r 辐角主值为θ=()22π
=
i arg ，所以
i 2=
）
（222π
π
sin i cos
+
（3）
21322=-+=）（）（r ，由33
3
1-
=-=
θtan 和点
），（13-在第四象限，得
6116
23π
π
πθ=
-
=-=）（i arg ，
所以i -3=
）（6116112π
πsin i cos
+
想一想：怎样把复数i z 43+=表示成三角形式？
复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：
①求复数的模：2
2b a r +=；②由
a b
tan =
θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即
可）；③写出复数的三角形式。
三、课堂练习 课本P64练习1、2 四、课堂小结
1、 复数与复平面内的点及向量一一对应；
2、复数的模、辐角及辐角主值；
3、复数三角形式的三个特征及复数的代数形式化为三角形式一般方法步骤。
五、布置作业
课本P68 练习1、2、3、4
学生讨论并回答
教师引导学生总结复数的代数形式化为三角形式的方法步骤
学生练习 教师讲评
学生总结 教师补充。