例4
验证
A
2 1
2
0
2 1 2
0
2 0 1
2 是正交矩阵.
0
1
2 2
解 A 的列向量都是单位向量，且两两正交， 故 A 是正交矩阵.
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2. 正交变换
【回顾】从变量 x1, x2, …, xn 到变量 y1, y2, …, ym的
“线性变换”可表示
为
y1 a11x1 a12x2 a1n xn ,
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例3
1
1
4
设 R3 的一组基为 1 2 , 2 3 , 3 1
1
1
0
用施密特正交化方法将这组基规范正交化.
解 首先将 1,2,3 正交化：
取
1 2
1;
2
[ 2 [1
, ,
1 1
] ]
1
1 3 1
4 6
1 2 1
5 / 3 5 / 3 ; 5 / 3
即，
是单位向量.
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1
2
例1
已知
21,
13,
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
解 12 22 (1)2 02 6 14
,
,
1 2 2 (3) (1)1 0 0 6 14
5 2 21
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定理 1 向量的内积满足
y2
a21x1
a22x2
a2n xn ,
ym am1x1 am2 x2 amn xn .
y1 a11
即
y2 ym
a21 am1
a12 a22
am2
a1n x1
a2n x2 , 记作 y=Ax.
amn xn
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是 V 的一个规范正交基.
例如，
1 2
/ /
3 3
，
2 1/
/3 3
是
R2
的一个规范正交基.
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设 1，2， ，r 是向量空间 V 的一组规范正交基， 则向量 在这组基下的坐标向量的第 j 个分量为
[ , j ] ( j 1,2, ,r)
证
x1
设
(1， 2，
基
，
r
)
x2 xr
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二、正交向量组、规范正交基
1. 正交向量组
一组两两正交且不含零向量的向量组， 称为非零正交向量组.
定理 3 非零正交向量组是线性无关的.
证 设 1，2， ， s 是非零正交向量组，
即
(非零)
i，i iTi
0
(i, j 1,2, , s)
(正交) i， j iT j 0 (i j)
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1
0
解 Ax=O，得基础解系 1 0 , 2 1 .
1
1
1, 2 线性无关，且都与 正交.
再将1, 2 正交化：
1
取
1
1
0
,
1
2
2
[ 2 , [1,
1] 1]
1
1/ 2 1
1/ 2
于是， , 1, 2 是一个非零正交向量组.
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三、正交矩阵、正交变换
定义 6 若 A 为正交矩阵，则线性变换 y=Ax 称为正交变换.
正交变换的性质
设： n 维列向量 , 正交变换 A, A (A为正交矩阵)，
则向量的内积与长度以及向量间的夹角都保持不变.
即 A , A , ；
A ；
arccos A , A arccos ,
A A
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3. 向量的夹角
定义 3 规定 n 维向量 和 的夹角为 arccos [ , ]
根据定义，如果非零向量 , 的内积 [ , ] 0，则 夹角 =90o ；反之亦然. 因此 定理 2 非零向量 , 正交(或垂直)的充要条件是
[ , ] 0
说明 由于零向量与任何向量的内积为零，因此，也 可以说零向量与任何向量正交.
这是Ax=O 的解空间的一个基本性质.
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例2
已知 R3 中的两个向量
1
1 1,
2
1 2
正交，
1
1
求一个非零向量 3，使得1, 2, 3 两两正交.
分析 已知1, 2 相互正交，故只需求出与1, 2 都
正交的一个向量.
以1T
,
T 2
作为行向量构成矩阵
A
1T
T 2
1 1
1 2
证 a11
设
A
a22
an1
a12 a22
an2
a1n
a2n
，按列分块为
(1,2 ,
,n ),
ann
1T
1T1 1T2 1Tn
AT
A
2nTT (1,2,
,n)
2T1 nT1
2T 2
nT 2
2Tn
nT
n
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1
2 1
1 2
1
1
2 1
1 2 1
施密特正交化方法：
一组线性无关的非零向量 1，2， ，r
作特定的线性运算
与1，2， ，r 等价的正交单位向量组
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施密特正交化方法的基本步骤和思路：
设1，2， ，r 是一组线性无关的非零向量.
① 取 1 1
② 取 2 2 k211
求 k21，使得 2, 1 0，即 2 和 1正交.
, 2 2 2 即 , 2 [ , ][ , ]
(称为Cauchy-Schwarz不等式) 证 参见 附录 1 .
向量长度的性质：
① 0 , 等号成立当且仅当 O；(非负性) ② k k ； (齐次性) ③ (三角不等式)
性质①②显然成立，性质③的证明参见 附录 2 .
x11 x22 x2r
则 [ , j ] [x11 x坐2标2 向量x2r , j ]
x1[1, j ] x2[2, j ] xr[r , j ] 0 0 0 x j[ j , j ] 0 0 x j
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3. 施密特(Schimidt)正交化方法
b2
，
规定 和 的内积为
an
bn
, a1b1 a2b2 anbn
(即，对应分量的乘积之和)
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说明 (1) 当 和 都为列向量时(一般做法)，
b1
T
(a1,a2 ,
an
)
b2
a1b1 a2b2 anbn
bn
a1
T
(b1 , b2 ,
3
3 1
, ,
1 1
1
3 2
, ,
2 2
2
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④ 不断重复以上步骤，直到最后有
r
r
r 1
, ,
1 1
1
r 2
, ,
2 2
2
r
r,
1
r 1
, r1
r
1
通过①②③④的正交化步骤，得到正交向量组：
1，2， ，r (作为习，证明 1，2， ，r 都是非零向量)
最后，再将 1，2， ，r 单位化为 1，2， ，r ，
r
1
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再将得到的正交向量组 1，2， ，r 单位化：
1
1 1
,
2
2 2
,
,
r
r r
说明 (1) 正确的顺序是先正交化，再单位化. 这是因为：对一组线性无关的单位向量正交化后, 可能不再是单位向量.
(2) 向量空间的基一般不是规范正交基，但是可以通 过施密特正交化步骤，构造出一组规范正交基，这 称为：对基进行规范正交化.
1. 正交矩阵
定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵. 根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质：
设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则 ① A1 AT ; ② A1(即 AT) 也是正交矩阵； ③ AB 也是正交矩阵； ④ A 1或1;
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定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量 组是正交单位向量组.
④ [ , ] 0 ，等号成立当且仅当 0 .
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2. 向量的长度
a1
定义 2
设
n 维向量
a2 ,
an
规定 的长度(或范数)为
[ , ] a12 a22 an2
说明 (1) 若 1，则称向量 为单位向量.
(2) 任意非零向量 ，可通过长度进行单位化，
25/ 3
1/
3
3
3 3
1/ 2
3
8
0
1 /
2
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例4
已知
1 1,
1
求两个向量，与 共同构成非零正交向量组.
解 令矩阵 A T (1, 1, 1)，
建立方程组
Ax
O，即
( 1,
1,
1 )
x1 x2
0.
x3
( Ax O的解与 A 的行向量 T正交，亦即与 正交)
即
j
j j
( j 1,2, ,r)
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施密特正交化步骤 小结 ：
首先将线性无关的非零向量组 1，2， ，r 正交化：
令 1 1
2
2
2 1
, ,
1 1
1