(i，j 1， 2，， . ，n)
，
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§4.1 向量的内积与正交向量组
作
习 题
业
P88 / 4.1,4.2
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，
, a1b1 a2 b2 an bn ak bk ,
称[ , ] 为向量 与 的内积.
k 1
n
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§4.1 向量的内积与正交向量组
说明
4 1 nn 维向量的内积是 3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2内积是两个向量之间的一种运算，其结果 是一个实数，它也可以看着矩阵的乘积， 即有 T
,

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§4.1 向量的内积与正交向量组
内积的运算性质 （其中 , , R , k , l R)
n
(1)
(2)
.
, , ; , , ;
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§4.1 向量的内积与正交向量组
例1 已知三维向量空间中两个向量
1 1 1, 1 1 2 2 1
1 ,构成三维空间的一 正交，试求 使 3 2 , 3 个正交基. T 解 设 3 x1 , x2 , x3 0, 分别为1 , 2 正交
(i 1， 2，， . ，n)
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§4.1 向量的内积与正交向量组
1T T 2 T 3
( 1 2 n ) E
i T j ( ij )
.
，
同理可证上述结论对行向量也成立.
1, 当i j ij 0， 当i j
由于
[ei , e j ] 0, i j且i, j 1, 2,3, 4. [ei , e j ] 1, i j且i, j 1, 2,3, 4.
e1, e2 , e3 , e4构成四维实空间 R 4的一个规范正交基
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§4.1 向量的内积与正交向量组
T 2
AB 也为正交矩阵。
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பைடு நூலகம்结束
§4.1 向量的内积与正交向量组
（4）对任意 n维列向量 和 ,若 A为正交矩阵,则
[ A , A ] [ , ].
证 [ A , A ] ( A )T ( A ) T ( AT A) T [ , ]. 正交矩阵的充要条件如下. A 的行（列）向量是单 定理4.1.3 A为正交矩阵 位正交向量 证 设有 n n 实矩阵 A (1 2 n ), i . 为 第i 列，
1 , 2 ,..., S 可以相互线性表示，也就是说向量组 1 , 2 ,..., S与向量组 1 , 2 ,..., s 等价。
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T T sT 1 S S 1 2 2 s s T 1 T 2 T S 1 1 1 2 2 S 1 S 1 可以验证 1 , 2 ,..., s 是正交向量组，并且与
则有 [ 1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
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§4.1 向量的内积与正交向量组
即 解之得
[ 1 , 3 ] x1 x 2 x 3 0 [ 2 , 3 ] x1 2 x 2 x 3 0
x1 x3 , x2 0.
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2 2 2 AT 2 2 2 2 2
2 2 2 2
AT A E,
§4.1 向量的内积与正交向量组
T T T A A I A A E 1 A A 1 证 因为
，
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§4.1 向量的内积与正交向量组
k k 将向量单位化的方法：
1
1


1

1


为单位向量。 单位化得
1 1 2 14 3
三、正交向量组 称 arccos
[ , ]
1 2 如： 3
T
T
§4.1 向量的内积与正交向量组
四、正交矩阵
T n A 定义4.1.6 如果 阶矩阵A满足 A E, 则称
A 为正交(矩)阵.
如： A 2 2 2 2
所以A 为正交阵. 上述从线性无关向量组 正交矩阵 A具有下列性质： 定理4.1.2 (1)若 A 为正交矩阵，则 A 1
, , , ;
(3)
0 有 [ , ] 0. （5） [ , k l ] k[ , ] l[ , ]
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(4)[ , ] 0, 且
§4.1 向量的内积与正交向量组
4 R 也为 的一个规范正交基
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§4.1 向量的内积与正交向量组
下面介绍向量组的正交化即施密特正交化法， 设 1 , 2 ,..., S 为线性无关的向量组。若令：
1 1
1 2 2 1
T 2 T 1
T T 3 1 3 2 3 3 T T 2 1 1 2 2
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8 14 T T 0,2,1,3 3,5,1,1 1,1,1,1 4 14
T
[ 1 , a3 ] [ 2 , a3 ] 3 a3 1 2 [ 1 , b1 ] [ 2 , 2 ]
1,1,2,0
§4.1 向量的内积与正交向量组
第四章
矩阵的特征值与特征向量
§4.1 向量的内积与正交向量组
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§4.1 向量的内积与正交向量组
一、向量的内积
定义4.1.1 设n维向量 (1 , 2 ,, an )T T n (b1 , b2 ,, bn ) R 记
二、向量的长度
1.定义4.1.2
的长度. 称 为向量
(a1 , a2 ,, an )T R n 2 2 ( , ) a12 a 2 an
向量的长度具有下述性质： (1) 0 0 0 (三角不等式). (2) k | k | (非负性)； (3) （正齐次性)； 注意：称长度为1的向量为单位向量.
18 2 cos 2 3 2 6


4
.
又如
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1 1 2 , 1 3 1
则
1 T 1 2 3 1 0 1
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x1 1 若令 x3 1, 则有 3 x2 0 x 1 3
由上可知 1 , 2 , 3 构成三维空间的一个正交基.
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§4.1 向量的内积与正交向量组
1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 e1 , e2 , e3 , e . 4 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0
T
1,1,0,4
T
11 4 1,1,1,1T 0,2,1,3T 1111
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§4.1 向量的内积与正交向量组
再单位化， 得规范正交向量组如下
b1 1 1 1 1 1 T e1 1,1,1,1 , , , b1 2 2 2 2 2 T b2 1 2 1 3 T 0,2,1,3 0, e2 , , b2 14 14 14 14 T b3 1 1 1 2 T 1,1,2,0 , , ,0 e3 b3 6 6 6 6
同理可知
1 0 0 0 0 1 0 0 1 , 2 , 3 , 4 . 0 0 1 0 0 0 0 1
n , R , 0, 0 定义4.1.3 向量的的夹角: 设

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0 为 与 的夹角.当[ , ] 0 时，称
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§4.1 向量的内积与正交向量组

解
与 正交.记
1,2,2,3 与 3,1,5,1 j 例 求向量，
§4.1 向量的内积与正交向量组
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1,1,0,4)T , a3 (3,5,1,1)T 正交规范化.
解 先正交化， 取
1 1 1,1,1,1
1 , a2 2 2 1 1 , b1