高中物理解题方法之导数法在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。

在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。

例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布图1.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的点的合成以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y 轴，则各点的电场强度可表示为：θcos )(222⋅+=y l Q k E =2222)(2yl yy l Q k +⋅+ 因为原点的电场强度00=E ，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0，所以，从O 点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。

那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。

方法1.用三角函数法求导数θcos )(222⋅+=y l Q k E 中把θtan l y =代入得θθcos sin 222⋅=lkQ E 。

令=z θθcos sin 2，求导数θθθ32sin cos sin 2'-=z =)sin cos 2sin 22θθθ-（，欲使0'=z ，需0sin =θ（舍去）或0sin cos 222=-θθ即2tan =θ，此处，22ly =，将其代入得2max 934lkQE ⋅=。

方法2. 用代数法求导数E =2222)(2y l y y l Q k +⋅+，令2322)(-+⋅=y l y z ,对z 求导数得252222322)(3)('--+-+=y l y y l z ,令其分子为0，得22ly =，代入得2max 934lkQE ⋅=。

3.图象用Excel 作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴y 表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。

图2.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的分布此图象也验证了以上所得的结果：图象中令5=l ，则当5.325222=⨯==ly 处电场强度最大。

例2、电源输出功率最大问题的研究例题．如图所示，R 为电阻箱，○V 为理想电压表．当电阻箱读数为R 1=2Ω时，电压表读数为U 1=4V ；当电阻箱读数为R 2=5Ω时，电压表读数为U 2=5V ．求：(1)电源的电动势E 和内阻r 。

(2)当电阻箱R 读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值P m 为多少? 图3 电路图【解析】由闭合电路欧姆定律： 111U E U r R =+222UE U r R =+ 联立上两式并代入数据解得：6E V =，1r =Ω（2）解法 1.代数法，电功率表达式：22()E P R R r =+ 将上式变形为：22()4E P R r r R=-+，由上式可知1R r ==Ω时P 有最大值294m E P W r == 解法2.导数法，电功率表达式：22()E P R R r =+，根据求导公式2'')'(vuv v u v u -=，得导数：=)('R P 4222)()(2)(r R r R R E r R E ++⋅-+⋅=42)()()(r R R r r R E +-⋅+⋅，当r R =时，导数的分子为零，即此时有极大值，将1R r ==Ω代入P 式得最大值294m E P W r==本题的物理意义可用图4图象说明：图4电源输出功率与外电路电阻的关系图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有两个电阻值。

例3.证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。

弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量还是守恒的。

在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒,但动量还是都守恒的。

为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解决知其所以然的问题。

弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。

碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。

因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。

一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。

非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。

如图1所示，设质量为m 1的小球，速度为v 1，与质量为m 2的小球，速度为v 2，发生碰撞，图5 碰撞碰撞后两球的速度分别为v1’、v2’，取向右为矢量的正方向。

由系统的动量守恒定律得 m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1’+m 2v 2’……① 则碰撞中动能损失为=∆k E 122221122221'21'212121v m v m v m mv --+ ② 由①得21122112''m v m v m v m v -+=③③代入②得=∆k E 221122112112222112)'('212121m v m v m v m v m v m v m -+--+，求k E ∆对'1v 的导数，得=∆)'(1'v E k 2111221111)'('m m v m v m v m v m ⋅-++-令=∆)'(1'v E k 0，解得2122111'm m v m v m v ++=，④ 即当2122111'm m v m v m v ++=时，k E ∆有最大值。

将④代入③解得2122112'm m v m v m v ++=，即''21v v =，两小球粘合在一起时，也就是完全非弹性碰撞情况下，动能损失最大。

将④代入②解得动能损失最大为)(2)(2122121max m m v v m m E k +-=∆。

例题.某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。

图中两摆摆长相同m l 1=，悬挂于同一高度，A 、B 两摆球均很小，质量相等皆为m 。

当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。

向右上方拉动B 球使其摆线伸直并与竖直方向成450角，然后将其由静止释放。

求A 球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上摆的最大角度的最大值和最小各值各是多少？解： B 球的初始高度为1h ，碰撞前B 球的速度为B v .在不考虑摆线质量的情况下，根据题意及机械能守恒定律得：1(1cos45)h l =-︒ ①1221mgh mv B = ② 弹性碰撞时，动量守恒有''B A B mv mv mv += ③动能守恒有222'21'2121B A Bmv mv mv += ④ 解得B A v v ='，0'=B v ， 根据22'21A mv mgh =，得12h h =，为A 球上升的最高高度。

根据)cos 1(22θ-=l h ，得01245==θθ，为A 球上摆的最大角度。

完全非弹性碰撞，即A 、B 两球粘合在一起时，动量守恒有'2mv mv B =，解得图 62'Bv v =， 根据22341'21mgh mv mgh ==，得1341h h =，为A 球上升的最大高度的最小值。

根据)cos 1(33θ-=l h ，得0322=θ，为A 球上摆的最大角度的最小值。

例4.电磁感应问题如图，质量为M 的足够长金属导轨abcd 放在光滑的绝缘水平面上。

一电阻不计，质量为m 的导体棒PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形。

棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。

导轨bc 段长为L ，开始时PQ 左侧导轨的总电阻为R ，右侧导轨单位长度的电阻为R 0。

以ef 为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B 。

在t =0时，一水平向左的拉力F 垂直作用在导轨的bc 边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a 。

（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式； （2）经过多长时间拉力F 达到最大值，拉力F 的最大值为多少？（3）某过程中回路产生的焦耳热为Q ，导轨克服摩擦力做功为W ，求导轨动能的增加量。

【答案】（1） 感应电动势BLv =ε导轨做初速为零的匀加速运动，at v =，221at s =BLat =ε回路中感应电流随时间变化的表达式2020)21(2at R R BLatat R R BLat R BLv I +=+==总（2） 导轨受外力F ，安培力A F ，摩擦力f F 。

其中2022at R R atL B BIL F A +== )()(2022at R R atL B mg BIL mg F F N f ++=+==μμμ 由牛顿定律Ma F F F f A =--2022)1(at R R atL B mg Ma F F Ma F f A ++++=++=μμ 上式中，当at R tR0=，即0aR Rt =时外力F 取极大值。

022max2)1(RR a L B mg Ma F μμ+++=∴ (3)设在此过程中导轨运动距离s ，由动能定理E W ∆=合Mas W =合由于摩擦力)(A f F mg F +=μ，所以摩擦力做功Q mgs W mgs W A μμμμ+=+=mgQW s μμ-=∴ )(Q W mgMaMas E K μμ-==∆。

【点评】本题考查电磁感应，匀变速运动，牛顿定律等知识点以及分析判断能力及极值的计算等数学方法。

难度：难。

在式子2022at R R atL B y +=的极值的计算中，答案用了变形atR tR a L B y 022+=，然后根据两式之积一定时，两式相等时其和最小的数学方法，因分母最小，分式取最大值。

也可以用导数法求极值。

设上式的分母为at R tRx 0+=，取导数：a R tRt x 02)('+-=，令其等于0，解得极值条件为0aR Rt =。

代入得02aRR x =，此时，0222RR aL B y =， 022max2)1(RR aL B mg Ma F μμ+++=∴。

例5.交流电如图（a ），在同一平面内固定有一长直导线PQ 和一导线框R ，R 在PQ 的右侧。