- 1 -高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。

本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。

一、 二次函数求极值二次函数aacb a b x ac bx ax y 44)2(222--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。

例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。

设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。

第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。

碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。

假使这四个速度都在一条直线上。

根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。

碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+v m vm v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,- 2 - 当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。

回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。

二、 由公式0)(2≥-b a 得ab b a 222≥+ 当b a =时，22b a +有极小值ab 2，若ba 1=，此时极小值为2。

同理，ab 的极大值为222b a +。

例2 求弹性正碰中m 1所传递给m 2的动能最大或最小的条件。

设一个质量为m 1，动能为Ek 的物体与一个质量为m 2的不动的物体正碰，假定发生的是弹性碰撞，试讨论m 1传递给m 2动能最大或最小的条件。

设m 1原来的速度为V 1，碰撞后两物体的速度分别为'1V 和'2V ，根据弹性正碰中的动量守恒和动能守恒，有方程组：⎪⎩⎪⎨⎧+'='+'=2'22211211221111212121V m V m V m V m V m V m解此方程得：121211V m m m m V +-='， 121122V m m m V +='m 1传递给m 2动能，即为m 2获得的动能：Ek m m m m V m m m m V m Ek 221212121122222)(4)2(2121+=+='='。

现在求'2Ek 的极值条件和极值。

Ek m m m m Ek m m m m m m Ek 12212221212122424++=++='当m 1= m 2时1221m m m m +有极小值2，所以当m 1= m 2时，'2Ek 有极大值Ek ，即m 1- 3 -传递给m 2动能最大的条件是二者质量相等。

此时m 1的全部动能传递给m 2，也就是说：碰撞之后'1V =0，12V V ='。

这在物理学史上有一段趣闻，在成立不久的英国皇家学会的一次例会上，一位工程师的表演引起了与会者的极大兴趣：两个质量相同的钢球A 和B ，分别吊在细绳上，静止时紧靠在一起，使A 球偏开一个角度后放开，它回到原来的位置时撞上B 球，碰撞后A 球静止下来，B 球摆到与A 求原来高度几乎相等的高度。

惠斯通通过对此现象的研究和解释中确定了动能的定义。

此问题可扩大到第二个物体原来不静止的情况。

设m 2碰前的速度为V 2，则方程组变为： ⎪⎩⎪⎨⎧'+'=+'+'=+22221122221122'21221121212121V m V m V m V m V m V m V m V m其解为：221212121'12V m m m V m m m m V +++-=22112121122V m m m m V m m m V +-++='则2222'22222121V m V m Ek Ek Ek -=-'=∆，将'2V 的表达式代入此式，并且以Ek 1代入21121V m ，以2Ek 代入22221V m ，得： 2122121212122121)()(2)()(4V V m m m m m m Ek Ek m m m m Ek +---+=∆，当m 1= m 2时，因后项为零，前项取最大值，故Ek ∆取最大值。

此时，m 1把原来m 2多的那部分动能全部传递给m 2。

三、 三角函数求极值：三角函数x y sin =，当0=x 时，y 取最小值0，当2π=x 时，y 取最大值1，（x 在0到2π范围内），同理，0,cos ==x x y 时，y 取最大值1，2π=x 时，y 取最小值0。

例3 在倾角θ=300的斜面上，放置一个重量为200牛顿的物体，物体与斜面间的滑动摩擦系数为33=μ，要使物体沿斜面匀速向上移动，所加的力至少要多大？方向如何？ 设所加的外力F 与斜面夹角为a ，物体受力情况如图所示。

N F- 4 -G由于物体作匀速直线运动，根据共点力的平衡条件，有方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==-+=--N f m g a F N f m g a F μθθ0cos sin 0sin cos解此方程组，消去N ，得： aa mg F sin cos )cos (sin μθμθ++=，因为θ为已知，故分子为定值，分母是变量为a 的三角函数，令)sin(1)sin cos cos (sin 1)sin 1cos 11(1sin cos 22222a a a a a y ++=⋅++=++++=+=ϕμϕαϕμαμμμμμ其中，211sin μϕ+=， 21c o s μμϕ+=即 μϕ1=tg ，当090=+ϕa 时，即 ϕ-=090a 时，y 取最大值21μ+，F 最小值为21)c o s (s i n μθμθ++mg ，由于33=μ，即3=ϕtg ，所以060=ϕ将200=mg N ， 030=θ，33=μ，代入上式得：当000306090=-=a 时，F 最小值为3100N ，约为173N 。

四、导数法求极值：一般的函数)(x f y =，求一阶导数)(x f y '='，令其为零时的x 值0x ，即为y 取极值的条件；再求二阶导数)(x f y ''=''，当0x x =时，若0>''y ，则上述极值为极小值；若0<''y ，则为极大值。

- 5 -例4 在用滑线式电桥测电阻的实验中，触头在滑线中点附近平衡时，实验误差较小。

I g x1l 2l证明：设滑线长为l ，触点一边长为1l ，则另一边长为12l l l -=。

当电桥平衡时，待测电阻x R 的计算式是：12l l RR x =，求其全微分为： 12122112dl l Rl dl l RdR l l dR x -+==∆x R 12122112l l Rl l l RR l l ∆-∆+∆两边同除以12l l RR x =，得： 2112l l l l R R R R x x ∆+∆+∆=∆，这就是待测电阻的相对误差的表达式。

因RR∆与滑线长度的读数误差无关，故此项不再考虑，将12l l l -=代入，并考虑到21l l ∆=∆（同一尺上的读数误差），得上式中后两项之和（设为r ）为：11l l l lr ∆-=，设1l ∆的系数为111)(l l l l R -=， 求R 对1l 的导数：21121)()(l l l ll l l dl dR -+-==21211)()2(l l l l l l --，-6 - 当21ll =时，值为0，此时R 有极值，再求二阶导数： 212dl R d =414112*********)()]()(2[)2()(2l l l l l l l l l l l l l l ll ----⋅--- 当21ll =时，大于0，故此时R 有极小值，即说明滑动触头在中点平衡时，实验误差最小。

除了上述四种基本方法以外，还可以用不等式求极值，也可以根据物理中的临界条件求极值，等等。

从上述例题可以看出：用求极值方法解决物理问题的关键在于：把物理问题转化为数学问题，首先要正确地分析物理过程，建立正确的物理模型或物理图景，恰当地运用物理规律和物理公式，正确地把物理问题转化为数学问题，然后才能用极值方法去解。

五、平抛运动中的极值问题例1．一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。

此队员从山沟的竖直一侧，以速度v 0沿水平方向跳向另一侧坡面。

如图所示，以沟底的O 点为原点建立坐标系Oxy 。

已知：山沟竖直一侧的高度为2h ，坡面的抛物线方程为y=221x h，探险队员的质量为m 。

人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g 。

（1） 求此人落到坡面时的动能；（2） 此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？【解析】- 7 -（1） 平抛运动的分解：t v x 0=，2212gt h y -=（注意：此处不能像通常那样写成221gt y =，因为本题是以图中的O 点为坐标原点，以向上为正方向。

而通常的公式221gt y =是以抛出点为原点、以向下为正方向得到的），得平抛运动的轨迹方程22022x v g h y -=，此方程与坡面的抛物线方程为y=221x h的交点为ghv v h x +=20224，gh v hv y +=20202。

根据机械能守恒，k E mgy mv h mg +=+⋅20212 解得）（ghv h g v m E k +-=202220421 （2）【解法1：配方法求极值】动能公式可改写为gh ghv gh gh v m E k 3}22122020++-+=（，当gh v =0时，括号内的值为0，平方项取极小值，这时，动能取极小值mgh E k 23min =。