(f1+f2)／2=fs/2 这也就是称fs/2为折叠频率的由来。
不产生混叠的条件：
a)模拟信号x(t)为带限信号
b)
fs
1 Ts
2 fh
奈魁斯特采样定理 通常fs=（3—4）fc
二、量化和量化误差
量化——用有限个允许值近似地代替精确值。
量化方法：截尾、舍入
截尾——将二进制数的多余位舍掉。
舍入——是将二进制数的多余位舍去或舍去后且在最低有效位上加l， 这与十进制中的四舍五入法相似。
五、频率分辨力、整周期截断
频率采样间隙Δf也是频率分辨力的指标 此间隔越小，频率分辨力越高，被“挡住”的频率成分越少 在利用DFT(离散傅利叶变换)将有限时间序列变换成相应的 频谱序列的情况下，Δf和分析的时间信号长度T的关系是:
Δf=fs/N=1/T (7-14)
这种关系是DFT算法固有的特征。 这种关系往往加剧频率分辨力和计算工作量的矛盾。
式中：x(nTs)x(t) tnTS
,N1
TS——采样间隔； N——序列长度，N=T/TS； fs——采样频率， fs =1/TS。
若采样间隔太小(采样频率高)，则对定长的时间记录来说 其数字序列就很长，计算工作量迅速增大；如果数字序列 长度一定，则只能处理很短的时间历程，可能产生较大的 误差。 若采样间隔过大(采样频率低)，则可能丢掉有用的信息。
5)周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值
与原周期信号的幅值有关，而丢失了原信号的相位信 息。
Rx
(
kT
)
lim
T
1 T
T 0
x(t)x(t
kT
)dt
lim 1 T x(t)x(t )dt
T T 0
Rx()
例5.1 求正弦函数 x(t)x0sin(t)
的自相关函数，初始相角φ为一随机变量。
分析表明，│ρxy│≤1
当数据点分布愈接近于一条直线时，ρxy的绝对值愈接近1， x和y的线性相关程度愈好，将这样的数据回归成直线才愈 有意义。
ρxy的正负号则是表示一变量随另一变量的增加而增加或减 小。
当ρxy接近于零，则可认为x、y两变量之间完全无关，但仍 可能存在着某种非线性的相关关系甚至函数关系。
第一节 数字信号处理的基本步骤 第二节 信号数字化出现的问题 第三节 相关分析及其应用 第四节 功率谱分析及其应用 第五节 现代信号分析方法简介
第一节 数字信号处理的基本步骤
数字信号处理器或计算机对离散的时间序列进行运算处理。 计算机只能处理有限长度的数据，所以首先要把长时间的 序列截断，对截取的数字序列有时还要人为地进行加权 (乘以窗函数)以成为新的有限长的序列。对数据中的奇异 点(由于强干扰或信号丢失引起的数据突变)应予以剔除。 对温漂、时漂等系统性干扰所引起的趋势项(周期大于记 录长度的频率成分)也应予以分离。如有必要，还可以设 计专门的程序来进行数字滤波，然后把数据按给定的程序 进行运算，完成各种分析。
256。
三、截断、泄漏和窗函数
信号数字化处理时，需要截断原始信号。 从原理上讲，截断就是将无限长的原始信号乘以时域有限宽
的窗函数。
根据傅里叶变换关系: 截断后的频谱为余弦信号的频谱与窗函数频谱的卷积； 产生泄漏 泄漏——由原来的两条谱线，变为一个两段连续谱。这表明
原来信号和由其中截取的信号两者的频谱不同了。原来集 中在ω0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了。
在分析简谐信号的场合下，需要了解某特定频率f0的谱值，希望DFT 谱线落在f0上。单纯减小Δf，并不一定会使谱线落在频率f0上。从 DFT的原理来看，谱线落在f0处的条件是：
f0／Δf=整数
考虑到Δf是分析时长T的倒数，简谐信号的周期T0是其频率f0的倒数， 因此只有截取的信号长度T正好等于信号周期的整数倍时，才可能使 分析谱线落在简谐信号的频率上，才能获得准确的频谱。
处理过程中的每一个步骤：采样、截断、DFT计算都会引 起失真或误差，必须充分注意。
好在工程上不仅关心有无误差，而更重要的是了解误差的 具体数值，以及是否能以经济、有效的手段提取足够精确 的信息。
只要概念清楚，处理得当，就可以利用计算机有效地处理 测试信号，完成在模拟信号处理技术中难以完成的工作。
二、时域采样、混叠和采样定理
相关系数——衡量两个随机变量之间相关程度大小的量被称为相关系 数。
xy
E [(x u x )( y x y
u y )]
E——数学期望
u
，
x
u
y
—
—
随
机
变
量
x、
y的
均
值
、
x
y
—
—
随
机
变
量
x、
y的
标
准
差y
E [(x
u y)2]
利用柯西—许瓦兹不等式
E [(x u x )( y u y )]2 E [(x u x )2 ]E [( y u y )2 ] 可 知 ： x y 1
u
2 x
对各态历经随机信号及功率信号可定义自相关函数Rx(τ)为
R x (
)
lim
T
1 T
T 0
x (t ) x (t
)dt
则有：
x ( )
R
x
(
)
u
2 x
2 x
显 然 x ( )和 R x ( )均 随 变 化 ， 两 者 成
线性关系。如果随机过程均值为零，
则 ： x ( )
R x ( )
采样——把连续时间信号变成离散时间序列的过程。 这一过程相当于在连续时间信号上“摘取”’许多离散时 刻上的信号瞬时值。 在数学处理上，可看作以等时距的单位脉冲序列(称其为 采样信号)去乘连续时间信号，各采样点上的瞬时值就变 成脉冲序列的强度。以后这些强度值将被量化而成为相应 的数值。
x(n)x(nTs) x(nfs),n0,1,2,
只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠。
减少混叠的方法： （1）增大截断长度T； （2）采用其它的窗函数
窗函数的选择：应考虑被分析信号的性质与处理要求
如要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度可选用主瓣 宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频 率等；
如分析窄带信号，且有较强的干扰噪声应选用旁瓣幅度小 的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；
解: 此正弦函数是一个零均值的各态历经随机过程，其各种
平均值可以用一个周期内的平均值表示。该正弦函数的自
相关函数为
Rx
(
)
lim
T
1 T
T 0
x(t)x(t
)dt
1 T0
T0 0
x02
sin(t
) sin[(t
)
]dt
式中：T0为正弦函数的周期，T0
2
令t ,则dt= d ,于是
s(t) n (t n T s) S (f) T 1 sr (f T r s)
傅立叶变换的卷积定理
x(t)s(t) X( f )S( f )
X( f )S( f ) X( f ) 1 ( f r )
Ts r
Ts
1
r
X( f )
Ts r
Ts
注意到原频谱X(f)是f的偶函数，并以f=0为对称轴；现在 新频谱X(f)*S(f)又是以fs为周期的周期函数。因此，如有 混叠现象出现，从图中可见，混叠必定出现在f=fs/2左右 两侧的频率处。有时将fs/2称为折叠频率。 可以证明，任何一个大于折叠频率的高频成分f1都将和一 个低于折叠频率的低频成分f2相混淆，将高频f1误认为低 频f2。相当于以折叠频率f2/2为轴，将f1成分折叠到低频 成分f2上，它们之间的关系为：
信号x(t)可能出现的最大值为A，量化单位为Δ
当信号x(t)落在某一小间隔内，经过舍入方法而变为有限值时，将会产 生量化误差e(n)量化误差的最大值为±Δ／2，可以认为量化误差在(Δ／2，Δ／2)区间各点出现的概率是相等的，其概率密度为1／Δ，均 值为零。
求得其标准差:
δs=0.29Δ
显然，量化单位Δ愈大，则量化误差愈大。 对信号采集时，量化增量的大小与A／D转换器位数有关。 如：8位的A／D转换器Δ最大为A／D转换器允许的工作电压幅值的1／
如随时间按指数衰减的函数可采用指数窗来提高信噪比
四、频域采样、时域周期延拓和栅栏效应
经过时域采样和截断后，信号的频谱在频域内还是连续的。 如果要使之数字化频率离散化，实行频域采样
频域采样与时域采样相似，在频域中用脉冲序列D(f)乘信号的频谱函 数，在时域里，其结果则是将信号平移至各脉冲坐标位置重新构图， 从而相当于在时域中将窗内的信号波形在窗外进行周期延拓。
第三节 相关分析及其应用
在测试技术领域中，无论分析两个随机变量之间的关系，还 是分析两个信号或一个信号在一定时移前后之间的关系， 都需要应用相关分析。
主要内容： 相关和相关系数 信号的自相关函数 信号的互相关函数 相关函数的估计
1．相关和相关系数
相关——当两个随机变量之间具有某种内在关系时，随着某 一个变量数值的确定，另一变量却可能取许多不同值，但 取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着 相关关系。
显然这个结论适用于所有周期信号。
因此，对周期信号实行整周期截断是获取准确频谱的先 决条件。
从概念来说，DFT把时窗内信号向外周期延拓。
若事先按整周期截断信号，则延拓后的信号将和原信号完 全吻合，接合处无任何畸变。
反之，延拓后将在t=kT交接处出现间断点，波形和频谱都 发生畸变。 其中k为某个整数。
二、信号的自相关函数
x (
)
lim
T
1 T
T
[x(t)