4）Rx(τ)的取值范围
x 2x 2R x()x 2x 2
13
5)周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数, 其幅值与原周期信号的幅值有关,而丢失了原信 号的相位信息。
图5·14是四种典型信号的自相关函数,稍加对比就可以看到自 相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段。只要信号 中含有周期成分,其自相关函数在τ很大时都不衰减,并具有明 显的周期性。不包含周期成分的随机信号,当τ稍大时自相关 函数就将趋近于零。宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到 零,窄带随机噪声的自相关函数则有较慢的衰减特性。
§5－3 功率谱分析及其应用
时域中的相关分析为在噪声背景下提取有用信息提供了途径。 功率谱分析则从频域提供相关技术所能提供的信息,它是研究平 稳随机过程的重要方法。
一、自功率谱密度函数
若τ→∞,Rx(τ)→0。（收敛，可积） 自相关函数Rx(τ)进行傅里叶变换Sx(f) 。
逆变换
Sx(f) Rx()ej2fd
s
1 2
m
v——音响通过管道的事传播速度。
18
由式(5-19)和式(5-25)所定义的相关函数只适用于各态历经 随机信号和功率信号。对于能量有限信号的相关函数,其中 的积分若除以趋于无限大的时间T后,无论时移τ为何值,其 结果都将趋于零。因此,对能量有限信号进行相关分析时, 应按下面定义来计算：
R x() x(t)x(t)dt Rxy () x(t)y(t)dt
§5－1 随机信号的幅值域分析
一、随机信号的基本概念
随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预 测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动 范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规 律。
样本函数：对随机信号按时间历程所作的各次长时 间观测记录，记作xi(t)。 样本记录：样本函数在有限时间上的部分
常有效的手段。如果我们对一个线性系统(例如某个
部件、结构或某台机床)激振,所测得的振动信号中常常含有大 量的噪声干扰。根据线性系统的频率保持性,只有和激振频率 相同的成分才可能是由激振而引起的响应,其它成分均是干扰。 因此只要将激振信号和所测得的响应信号进行互相关(不必用 时移,τ=0)处理,就可以得到由激振而引起的响应幅值和相位差,
保留了原正弦信号的幅值和频率信息,而丢失了初始相位信息。
自相关函数性质
1）自相关函数为偶函数,即 Rx(τ)=Rx(-τ)
2） τ→∞时,随机变量x(t)和x(t+τ)之间不存在内在联系了,彼此 无关，故
Rx() x2
3)自相关函数在τ=0时为最大值,并等于该随机信号的均方值
Rx(0)X 2X 2x 2
Rx
(
)
lim
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
1
T0
T0 0
x02
sin(t
)
sin[ (t
)
]dt
x02
2
sin sin( )d
2 0
x02 cos
2
T0 —正弦函数的周T期 0 ， 2
令t ,则dtd
可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数,在τ=0时具有最大值, 但它不随τ的增加而衰减至零。
二、信号的自相关函数
假如x(t)是某各态历经随机过程的一个样本记录,x(t+τ)是 x(t)时移τ后的样本(图5-15),在任何t=ti时刻,从两个样本上可 以分别得到两个量值x(ti)和x(ti +τ),而且x(t)和x(t+τ)具有相 同的均值和标准差。
12
x()T l i m T 10Tx(t) xx2x(t)xd t
2 y
E
(x
y )2
x 、 y 的标准差
E ( x x ) y ( y ) 2 E ( x x ) 2 E ( y y ) 2
| xy |1 相关程度愈好,将这样的数据回归成直线才愈
有意义。 ρxy的正负号则是表示一变量随另一变量的增加 而增或减。当ρxy接近于零,则可认为x、y两一变量之间完 全无关,但仍可能存在着某种非线性的相关关系甚至函数 关系。
φ——x(t)与y(t)的相位差
试求其互相关函数Rxy(τ)
lim R x( y )T T 10 Tx (t)y(t)d
T 1 00 T 0x 0sin t ()y 0sin (t [)]dt
1 2x0y0co s()
两个均值为零且具有相同频率的周期信号,其互相关函数中保留 了这两个信号的圆频率ω、对应的幅值x0和y0以及相位差值φ 的 信息。
11
对于变量x和y之间的相关程度常用相关系数表示：
xy
E
( x x )( y y ) x y
式中： E — 数学期望；
x — 随机变量 x 的均值， x E [ x ]; y — 随机变量 x 的均值， y E [ y ];
、
x
y
—
随机变量
2 x
E
(x
x)2
互相关函数性质
1）互相关函数Rxy(τ)不是偶函数,也不是奇函数，但有：
Rxy(τ)＝ Ryx(-τ)
2） τ→∞时,
Rxy() xy

3)当τ=τ0时，Rxy(τ0)有最大值
Rx(y0)xyxy
4）Rx(τ)的取值范围
(xy xy ) R x(y ) (xy xy )
16
图中表明τ=τ0时呈现最大值,时移τ0反映x(t)和y(t)之间的滞后 时间。
表示信号落在指定区间的概率。 x(t)值落在（x,x+Δx）区间内的时间为Tx
n
Txt1t2.. .tn ti i1
当样本函数的记录时间T趋于无穷大时，Tx/T的 比值就是幅值落在（x,x+Δx）区间的概率
Prxx(t)xxT l i m T Tx
定义幅值概率密度函数为
p (x)liP m rxx(t)x x
R x(y )lT im T 10 Tx(t)y(t)d t
当时移τ足够大或τ→∞时,x(t)和y(t)互不相关,ρxy→0,而Rxy(τ)→μxμy。 Rxy(τ)的最大变动范围在μxμy±σxσy之间,
例5-2设有两个周期信号x(t)和y(t)
x(t)x0sin(t)
y(t)y0sin(t)
式中θ——x(t)相对于t=0时刻的相位角
随机过程：相同试验条件下，全部样本函数的集合 （总体），记作{x(t)}
即{x(t)}={x1(t), x2(t),… xi(t),…}
平稳随机过程
是指其统计特征参数不随时间而变化的随 机过程，否则为非平稳随机过程。
各态历经
在平稳随机过程中，若任一单个样本函数 的时间平均统计特征等于该过程的集合平 均统计特征，叫各态历经（遍历性）随机 过程。
14
图5·15a是某一机械加工表面粗糙度的波形,经自相关分析后所 得到的自相关图(图5-15b)呈现出周期性。这表明造成表面粗 糙度的原因中包含有某种周期因素。从自相关图可以确定该 周期因素的频率,从而可以进一步分析其起因。
15
三、信号的互相关函数
两个各态历经过程的随机信号x(t)和y(t)的互相关函数Rxy(τ)定 义为
二、随机信号的主要特征参数 （一）均值、方差和均方差
对于各态历经信号：
lim x
T
1 T
T
x(t)dt
0
x(t)样本函数，T观测时间
均值表示信号的常值分量
x2T l i m T 10Tx(t)x 2dt 方差描述随机信号的波动分量
方差的平方根叫标准偏差σx
2 x
lim1 TT
Tx2(t)d
Sy(f)H(f)2Sx(f)
H( f ) 2＝Sy( f ) Sx( f )
显然，x ( ) 和 Rx ( ) 均随τ而变化，且两者成线性关
系。如果随机过程的均值
x0 ,则 x()R x()/
2 x
例5-1 求正弦函数x(t)=x0sin(ωt+φ)的自相关函数。 初始相角 φ为一随机变量。
解: 此正弦函数,是一个零均值的各态历经随机 过程,其各种平均值可以用一个周期内的平均值 表示之。该正弦函数的自相关函数为:
将分子展开并注意到 从而得
1
lim T T
T
0 x(t)dt x
lim 1
T T
T
0 x(t )dt x
lim1
x()TT
0Tx(t)x(t)dtx2 2
x
对各态历经随机信号及功率信 号可定义自相关函数Rx(τ)
Rx()T l i m T 10 Tx(t)x(t)dt
则
x()
Rx()x2 x2
lim Rx(y)T T 1o Tx(t)y(t)d t
lT iT 1 m o Tx 0 y 0s i1 tn )(s i2 n (t [) ]dt
根据正(余)弦函数的正交性,可知Rxy(τ)=0
两个不同频的周期信号是不相关的。
互相关函数的这些性质,使它在工程应用中有重要的价值。它
是在噪声背景下提取有用信息的一个非
Rx() Sx(f)ej2fdf
定义Sx(f)为x(t)的自功率谱密度函数,简称自谱或自功率谱。
Rx()Sx(f)
二、互功率谱密度函数
Sx(yf) Rx(y)ej2fd
Rxy(
)Sx
y(f)ej2fdf
Rxy()Sxy(f)
三、应用 1、输入、输出的自功率谱密度与系统频率响应函数的关系 如下:
第五章信号处理初步
测试工作的任务之一：从噪声背景下提取有用信息。 信号处理的目的: （1）分离信、噪，提高信噪比。 （2）从信号中提取有用的特征信号。 （3）修正测试系统误差,如传感器的线性误差、温度影响等。 对随机信号的处理： （1）幅值域描述：均值、均方值、方差、概率密度函数 （2）时域描述：自相关函数、互相关函数 （3）频域描述：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数