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浙江专升本《高数二》试卷及答案

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷1.函数x e x x xy --=)1(sin 2的连续区间是____________________.2.___________________________)4(1lim 2=-+-∞→x x x x .3.写出函数的水平渐近线和垂直渐近线4.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时,函数)(x f 在点x=1处连续.5.设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x , (1)当r 是常数,θ是参数时,则_______________=dx dy .(2)当θ是常数,r 是参数时,则=dxdy_____________.二.选择题. (本题共有5个小题,每一小题4分,共20分,每个小题给出的选项中,只有一项符合要求)1.设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导,),(b a c ∈,且0)('=c f ,则当( )时,)(x f 在c x =处取得极大值.)(A 当c x a <≤时,0)('>x f ,当b x c ≤<时,0)('>x f , )(B 当c x a <≤时,0)('>x f ,当b x c ≤<时,0)('<x f , )(C 当c x a <≤时,0)('<x f ,当b x c ≤<时,0)('>x f , )(D 当c x a <≤时,0)('<x f ,当b x c ≤<时,0)('<x f . 2.设函数)(x f y =在点0x x =处可导,则). ()2()3(lim000=--+→hh x f h x f h).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0,00,0x ,)(22x e x e x f x x ,则积分⎰-11)(dx x f =( )..2)( ,e1)( 0)( ,1)(D C B A -4.可微函数在点处有是函数在点处取得极值的()。

充分条件,必要条件, 充分必要条件,既非充分又非必要条件。

5.设级数∑∞=1n na和级数∑∞=1n nb都发散,则级数∑∞=+1)(n n nb a是( ).)(A 发散, )(B 条件收敛, )(C 绝对收敛,)( D 可能发散或者可能收敛.三.计算题:(计算题必须写出必要的计算过程,只写答案的不给分,本题共10个小题,每小题7分,共70分)1.求函数xx x y )1(2+-=的导数.2. 求函数1223+-=x x y 在区间(-1,2)中的极大值,极小值.3. 求函数xe x xf 2)(=的3阶导数33dx fd .4.计算极限)1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x .5.计算积分⎰+dx e x211. 6.计算积分⎰-+12)2(dx e x x x .7.函数方程,其中变量是变量的函数,求和8.把函数11+=x y 展开成1-x 的幂级数,并求出它的收敛区间.9.求微分方程x y x dxdyxsin )(sin cos =+的通解.10.直线1=x 把圆422=+y x 分成左,右两部分,求右面部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积.四.综合题: (本题共2个小题,每小题10分,共20分)1.设m n ,是整数,计算积分⎰πcos cos mxdx nx .2.已知函数d cx bx ax x f +++=234)(23, 其中常数0,,,,=+++d c b a d c b a 满足, (1)证明函数)(x f 在(0,1)内至少有一个根,(2)当ac b 832<时,证明函数)(x f 在(0,1)内只有一个根.2005年高数(二)答案(A 卷)一.填空题:(每空格5分,共40分)1.连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ ,2.21, 3.(1)0y =, (2)2x =4.1,0-==b a ,5.(1)y x r 2-, (2)xy23.三.计算题:(计算题必须写出必要的计算过程,只写答案的不给分,每小题7分,共70分)1.解 :令)1ln(ln 2+-=x x x y , (3分)则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1)12([222'+-+-++--= (7分) 2.解:)43(432'-=-=x x x x y ,驻点为34,021==x x (2分)(法一) 46''-=x y ,04)0(''<-=y , 1)0(=y (极大值), (5分)04)34(''>=y , 275)34(-=y (极小值). (7分)(5分)当0=x 时,1=y (极大值),当34=x 时,275-=y (极小值) (7分)3.解:(法一)利用莱布尼兹公式xe x x dxf d ]66[233++= (7分) (法二)xe x x xf )2()(2'+=, (3分) x e x x x f )24()(2''++=, x e x x x f)66()(2)3(++= (7分)4.解:)1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x =)1cos(1lim 1-+→x e x x =1+=e5.解:⎰+dx e x 211==+-+⎰dx ee e xxx 22211 (3分) ++-=)1ln(212x e x C (7分)6.解:⎰-+12)2(dx e x x x ==+--+⎰dx e x ex x x x 10102)12()2( (3分)=2-⎰+1)12(dx e x x=2-)13(-e +102x e==e e e -=-+-12233。

(7分)7.解:()22,220F x y x xy y =++=2222222233422202(2)2()021()()(1)()()()220()()dy dy x y xy dx dxdyx y x y dxdy x y x dx x y x y x dy x y x x x x y x d y x y dx dx x y x y x y x x xy y x y x y ∴+++=⇒+++=+⇒=-=--+++-+++-++=-=-++++++=-=-=++ (3分)(7分)8.解:])21()1()21()21(211[21]2111[211132 +--++---+--=-+=+=nn x x x x x x y=∑∞=+--012)1()1(n n n n x , (5分) 收敛区间为(-1, 3). (7分)9.解:xxx y 2cos sin )'cos (=(5分)1cos +=x C y (其中C 为任意常数) (7分)10.解:直线1=x 与圆422=+y x 的交点是)3,1(),3,1(21-P P , (2分) 右面部分绕y 轴旋转一周的所得几何体的体积.⎰---=332]1)4[(dy y V π(5分) =ππ34)33(233=-y y (7分) 四.综合题:1.解:⎰π0cos cos mxdx nx =⎰-++π])cos()[cos(21dx x m n x m n (3分)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==≠=m n m n m n ,00 ,0 ,2ππ(10分)2.证明:证明:(1)考虑函数dx cx bx ax x F +++=234)(, (2分))(x F 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,0)1()0(==F F , (4分)由罗尔定理知,存在)1,0(∈ξ,使得0)('=ξF ,即0)()('==ξξf F ,就是=)(ξf 023423=+++d c b a ξξξ,所以函数)(x f 在(0,1)内至少有一个根. (7分)(2)c bx ax x F x f 2612)()(2'''++==因为ac b 832<,所以0)83(129636)2)(12(4)6(222<-=-=-ac b ac b c a b ,)('x f 保持定号,)(x f 函数)(x f 在(0,1)内只有一个根. (10分)。

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