(0) (1) (2)

(0)
( x)
q 40 R
1 (~ ) R
q
V
( x)dV
单极项(0)有球对称性，相当于系统的净电荷量 q集中于坐标原点产生的电势。
p R (1) ( x) 40 R3
偶极项 p V ( x) xdV 1 3( p R) p [ 3] 5 40 R R
(0 ) V0 边界条件为 (b, ) ( 2 ) V0
n 1
b
=V0

z
=V0
(b, ) ( A0 ln B0 )(C0 D0 ) ( An n Bn n )(Cn cosn Dn sin n )
哈尔滨工程大学理学院
习题课
n
第二章 静电 场
(0 ) V0 在=b处有 (b, ) B0 D0 Bn Dnb sinn ( 2 ) n 1 V0
B0 D0 0
Bn Dn b n
0 4V0 n
4、静电场边值问题的求解方法 （1）分离变量法 ①自由电荷全聚集在边界上，方程是齐次的。
②边界应该是简单的几何面。 2 2 2 2 (a)在直角坐标系中 2 2 2 0 x y z ( x , y, z ) ( A1 cos k x x A2 sink x x ) ( B1 cos k y y B2 sink y y )
4V0 n n ( b ) sinn n 奇 数

在圆管外部(>b)，为使时，电位保持有限值， 通解中不能有n因子和ln 因子，即
A0 0, An 0
(n 1,2,)
(b, ) B0 D0 Bn Dn n sinn
n 1

B0D0和BnDn可以由边界条件确定。
习题课
n
第二章 静电 场
(0 ) V0 在=b处有 (b, ) B0 D0 Anb Dn sinn ( 2 ) n 1 V0
B0 D0 0
0 An Dn b n 4V0 n
圆管内部的电位为 ( , )
n
(Γ为伽马函数 )
cos(m )J m ( kr) J m ( kr) N m ( kr) sin( m )
哈尔滨工程大学理学院
习题课
第二章 静电 场
如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区
域是02，故通解为
(r , ) Ao B0 ln r ( An r Bn r ) cos(n ) (C n r n Dn r n ) sin( n )
(C1 cos k z z C2 sink z z )
哈尔滨工程大学理学院
第二章 静电 场 2 2 1 1 2 (b)在柱坐标系中 (r ) 2 2 0 2 r r r r z (r , , z ) R(r )( ) Z ( z ) 习题课
(b, ) 是的奇函数，通解式中不应该有余弦项。
哈尔滨工程大学理学院
习题课
第二章 静电 场
Cn 0
又电位分布的周期性 ( , ) ( , 2n )
C0 0
(b, ) ( A0 ln B0 ) D0 ( An n Bn n )Dn sinn
(r ) A
B r
（2）镜像法 ①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线。 ②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面 （球面、柱面、平面）。
哈尔滨工程大学理学院
习题课
第二章 静电 场
5、静电能、外电场对电荷系的作用能
（1）电荷体系的静电能
1 1 We E DdV f dV 2 V 2
D ji Dij 对称张量
Dxx Dyy Dzz 0
电荷分布偏离球对称的系统必定出现多极矩，而 各级矩的电势按距离R的负幂次衰减，高级矩的电势 比低级矩的电势衰减更迅速。因此任何电荷系统在其
外部的场，均以其最低级的场为主。
哈尔滨工程大学理学院
习题课 3、静电场边值问题
第二章 静电 场
Wi p e p Ee F Wi p Ee
L p Ee
习题课 二、典型例题
第二章 静电 场
例1 一无限长，半径为b的薄导体圆管，被分成两半， 且相互绝缘，上半圆柱面的电位=V0，下半圆柱面的 电位=V0。试求管内外的电位分布。 解：由于假设圆管无限长，故电位 为和的函数，与z无关。
其中无穷远处为电势零点，积分遍及电荷分布区域 V。 2、电势多极展开 任何一个电荷系统在其外部的电场，原则上均 可表示成一系列多极矩场的叠加。
哈尔滨工程大学理学院
习题课 对于电荷系统在远处的场
第二章 静电 场
1 q p R 1 3 2 1 ( x) [ 3 Dij ] 40 R R 6 i , j 1 xi x j R
两个体积分的积分区域不同！
（2）外电场对电荷体系的作用能
1 Wi ( x ) e ( x )dV V 2 1 Wi q e (0) p e (0) D : e (0) 6
当电荷分布在小区域
电偶极子
哈尔滨工程大学理学院
( R R0 )
(5 )
哈尔滨工程大学理学院
第二章 静电 场 习题课 p f 的电势P是泊松方程（1）的一个特解。 p
哈尔滨工程大学理学院
1 d 0 E en 0 E e 0 | r d
0V0
习题课
第二章 静电 场
例3 均匀介质球（电容率为1）中心置一自由电偶极子 ， 球外充满了另一种电容率为 2的介质，求空间各点的电势 pf z 和极化电荷分布。
1 (~ 2 ) R
E (1)
哈尔滨工程大学理学院
习题课
Dij
V V
第二章 静电 场
2 3 xi x j ( x )dV (3 xi x j r ij ) ( x)dV
x 2 y 2 z 2
r
习题课 一、内容小结 1、静电场与静电势
E
第二章 静电 场
x ( x ) ( x0 ) E dl x0
当电荷分布于有限区域时，通常以无穷远为势能零点。 泊松方程 2 / 0
泊松方程在无界空间中的解为 ( x ) V ( x ) dV 40 r

2
)
锥面上的电荷面密度
r sin ln(tan ) 2 2 r0 0V0 20 r0V0 r sinddr 锥面上的总电荷 Q r 0 0 sin ln(tan ) ln(tan ) 2 2 20 r0 Q C V0 ln(tan ) 2
n n n 1 n 1
(c)在球坐标系中
2 1 1 1 2 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r r sin r sin
(r , , ) R(r )Y ( , )
Bnm m Dnm m n (r , , ) ( Anm r n1 ) Pn (cos ) cos(m ) (Cnm r n1 ) Pn (cos ) sin( m ) r r n,m n,m
n
Pnm (cos ) 为缔合勒让德（Legendre)函数
哈尔滨工程大学理学院
习题课
第二章 静电 场
对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为极轴），则
( r , ) ( An r n
n0
Bn ) Pn (cos ) n1 r
Pn (cos ) 为勒让德函数
对于球对称的问题，m=0 , n=0，则
唯一性定理定解条件
（1）满足各求解区域内电势（或电场）的微分方程 （2）满足相邻区域的边值关系及给定的边界条件
静电势方程和边值关系
f 2 i
j i f j i n n (线性均匀介质界面) j i
的电势，或给定每个导体所带的净电量。 ds Q n S
解 从导体的形状可推知，给出导体上的总 电荷后，不可能由此求导体间的电位差及电 容。 先指定导体上的电位，解2=0，求出 导体间的电位分布，再确定导体上的总电 荷，从而求得电容。 以锥轴线为z轴，则令锥面(=)上的电位为V0，平 面(=/2)上的电位为零。当忽略边缘效应时，电位与 坐标r和无关，仅与有关。

4V0 b n 圆管外部的电位为 ( , ) ( ) sinn n 奇 数 n
哈尔滨工程大学理学院
习题课
第二章 静电 场
例2 圆锥形导体电极尖端无限接近一导体平面（两者相互 绝缘），锥轴线与平面垂直，轮廓线与轴线夹角为。忽 略边缘效应及锥底电容，求圆锥与平面间的电容。
(r , , z ) [ A1J m (kr) A2 N m (kr)] [ B1 cos(n ) B2 sin( n )]
[C1 cosh( kz) C2 sinh( kz)]
Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类贝塞尔函数。
kr m 2 n ) ( 1) ( 2 J m ( kr ) n 0 n! ( m n 1)
哈尔滨工程大学理学院
r0
习题课
2
第二章 静电 场
1 d d 2 (sin ) 0 由边界条件 , 0 B 0 r sin d d 2