高考数学专题复习二项式定理练习题1.在二项式（仮的展开式中，前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项.I 2仮丿分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决. 解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r =01,2.1 1 1 1 得系数为：1 =1,上2 =。

；一 =— n,t3 = cn — = —ng-1),2 2 4 81 由已知：2t2 =匕 叫3 n= 1 + — n(n —1), 8••• n =8通项公式为_ 16 J3r1 ---TF=c8-rx 4 r =0,1,2" 8,Tr + 为有理项，故 16 —3r 是 4 的倍数,2 /. r =0,4,8.依次得到有理项为「= X 4,丁5 = C ； —4 X =— X ,T 9 = c 8 A x° =—— x 2•2 8 2 256说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类 似地，（J 2 +3/3）100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中系数和为3n.2. （1）求（1 —x ）3（1+x ）10展开式中X 5的系数；（2）求（x + 1+2）6展开式中的常数项.X分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， 视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式.解：（1 ） （1-x ）3（1 +x ）10展开式中的X 5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项: 用（1 —X ）3展开式中的常数项乘以 （1 +x ）10展开式中的 X 5项，可以得到C lo X 5;用“c"严k 丿2n J3r=c n 2^x 4r 的取值，得到共有（1）可以（1-x）3展开式中的一次项乘以（1+x）10展开式中的X4项可得到（―3X）（C40X4）=—3C40X5(C o —C 4O +3C 3O -C !0)X 5 = —63x 5.的常数项为C ；2 =924说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.3.求（1+ X-X 2）6展开式中X 5的系数.2 6 2 2 2分析：（1+x-x ）不是二项式，我们可以通过 1+x-x =（1+x ）-x 或1+（x-x ）把它看成二项式展开.解：方法一：(1+x-X 2)6= (1+x) -X 2f6 5 2 4 4= (1+x )-6(1+x) X +15(1+ x) X -其中含X 5的项为c l x 5-6C 5X 5+15。

衣=6X 5.含x 5项的系数为6.用（1 _x ）3中的X 2乘以（1 +x ）10展开式中的o 2 3 3 3 5 3x 3可得到 3x C 10X =3C i0X ；用(1-x)中的X 3项乘以（1+x ）10展开式中的x 2项可得到-3x 3Cwx 2= —Cwx 5,合并同类项得X 5项为:(x+l+2)5X'、vx 丿展开式的通项公式T — =&2（丿2）12亠r 1 丫五)= C ；2X^r，可得展开式方法二：（1+ X -X 2）6= 1+( X-X 2)F2= 1+6(x-x )+15(x—X 2)2+20(x —X 2)3+15(x —X 2)4+6(x —x 2)5+(x —X 2)6其中含 x 5的项为 20(—3)x 5+15(—4)x 5+6x 5=6x 5.二X 5项的系数为6.方法3 :本题还可通过把（1+ X-X 2）6看成6个1+ x-x 2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项， X 5项可由下列几种可能得到.5个因式中取X , —个取1得到C 6X 5.（2）cn+ic^+^c 2^ + 亠㈡ 2 3n +1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质C 0 + Cn +cn + …+ cn =2解: (1)- kC 一二n!=n • Z 二 ncn ；k!( n-k)! (k —1)!( n-k)! (k-1)!( n+k)!•••左边=nC 0」+ nC ；」十"+nCnin!k!(n-k)! "(k-1)!(n-k)!= C 1十 + -^―C 241n +1C n十 n +1C n勺= £c J c 2十…In +1 n +1说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式， 但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求z 'Cw +28C 9O +27。

80 +…+2^0 +10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与 （1+2）10的展开式接近，但要注意:(1 + 2)10=C 00 +C 10 •2+C 20 讫2+…+ C ：。

亡9+ c 10 亡10=1+2X1O+22c 50 +…+2^9。

+210C 103个因式中取 93 13 2X , 一个取-X 2，两个取1得到C 6 C 3X •(—X ).1个因式中取 9 12 2 2X ,两个取-X 2，三个取1得到C 6 C 5X (―X ).合并同类项为(c 6 -c 6c 3 +C 6C 5)X 5=6X 5,X 5项的系数为6.4.求证：（1）C ；+2C 2+…+ncn =n (2n + _1).n +1n!(n-1)!—n( C n 」+C nj+■■- +C 壮)=n ”2n 」=右边.n!—n +1 (n+1)!(k+1)!(n -k)! n +11^n + 二7C n 卅 n +1+■■■ +c n iH —(2n*-1H 右边. •••左边= 1+2(10+2Cw 十…+28吮乜七1。

)从而可以得到：10+2G20屮•• +28C90+29C10 =丄(310-1).25.利用二项式定理证明：32"唯-8 n-9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明32n* -8 n-9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32讦=9n+ =（8 + 1）n^，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系起来.解：•/ 322_8n—9= 9n+ —8 n-9 =(8+1)n十一8 n-9= 8n+ +C爲8n+…+ cn；82+c n卡•8+1—8n—9= 8n^ +C爲8n十…+ c ni s2+8(n+1)+1-8n-9= 8n^ +C爲8n+••• + C时82+ •• +C时）64是64的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.108若将（x+y+z）展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项. ).A. 11B. 33C. 55D. 66分析：（x+y + z）10看作二项式[（x + y）+z]10展开.解：我们把x + y+z看成（x + y）+z，按二项式展开，共有11 “项”，即10(x+y+z)10=[(x +y)+z]10=送C1k0(x + y)10± N kkz0这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式10-k(x+y) 展开, 不同的乘积Cwd + y）10止-k（k = 0,1，…，10 ）展开后，都不会出现同类项. F面，再分别考虑每一个乘积C1k，(^y)1^^ ■z k( k =0,1，…,10).其中每一个乘积展开后的项数由(x + y)z 决定,故原式展开后的总项数为11+10+9+…+1=66, •••应选D.n的展开式的常数项为 -20,求n .后写出通项，令含 x 的幕指数为零，进而解出••心以<型空（••• x>0）.2"3咒2咒1 V x解得 oxfV648.分析：题中XHO ,当 XA O 时x n转化为X+1—2 I X同理2nf 1 y厂1 A卜+「2厂（叫尸一狂厂然解：当X >0时f x +丄—2 1 -I X 丿1 Y n丘-厂\V X，其通项为2n 」 "c；"W （4x ）r十皿皿严令 2n-2r =0,得 n =r ,•••展开式的常数项为（-1）nC ；n ；当xcO 时,(1 S' / 一X +- -2 I = (-1)n J-X同理可得，展开式的常数项为 （-1）nc ；n .无论哪一种情况，常数项均为（-1）nC ；n .令(-1)nc 2n =-20，以 n =1,2,3，…,逐个代入，得n = 3.10.攸+ __ 、、的展开式的第3项小于第4项，贝y X 的取值范围是分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可.解：使¥有意义，必须X >0依题意，有T^T 4，即 G ：/）8<C i 3o (7x)7^2n1、-f= I ;当 xc0 时,•应填：o<xc85/g48.9展开式的倒数第二项为 112，求x 的值.=1：2：3,二n =14 , k =5所求连续三项为第 5、6、7三项. 又由已知，C 114xlog2^112 .即 x log2^8两边取以2为底的对数，(log 2X)2=3 , log 2X=±U3 ,说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项, 根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.12.(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项 和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出 n ,再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项. 解：T 6 =Cn(2x)5, T 7 =c ；(2x)6，依题意有C ；?5=C 626 = n =8 .8 44 4••• (1+ 2x)的展开式中，二项式系数最大的项为 T5=C 8(2X ) =1120x .设第r +1项系数最大，则有••• x 的取值范围是 x 0<x V 8V 648、.911.已知(xlog2x+ 1)n的展开式中有连续三项的系数之比为1：2：3,这三项是第几项？若解：设连续三项是第k 、 k+1、 k+2项(k € N + 且 k >1)，贝y 有即(k —1)(n —k+1)!n ! k!(n -k)!n!=1： 2： 3.(n-k)(n -k +1) k (n-k)一1——=1：2：3 .k(n -k)(n-k)( n-k +1) I k(k +1) 2[k (n-k) "3"2 —n -k+1 i (k+1) _2i (n-k) —3片2工：罕5»6 .|C 8 0 >c8 ■2r *r =5或 r =6 (v r 壬 to , 1,2，…，8}).•••系娄最大的项为： T 6 =1792X 5, T 7 = 1792X 6.说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质， 项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负 变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.13.设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m, n 亡N+),若其展开式中关于 x 的一次项的系数和2为11，问m,n 为何值时，含x 项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：根据已知条件得到 X 2的系数关于n 的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.解：C ； +C 1= n + m =11.2 2221 2 2m +n —11C m +C n =-(m -m + n -n) =29911 的对称轴方程为 x=—，即x=5.5，由于5、6距4 211 995.5等距离，且对n 亡N+, 5、6距5.5最近，所以(n --y)^^的最小值在 门=5或门=6处取得.卡 + a 7 ； (2) 81+83+85+ a 7 ； (3) a o +82+34+86. 解: (1)令 X = 0，贝y a o =-1n 为奇数时中间两项的二••• n =5或6 , m =6或 5时,2x 项系数最小，最小值为 25 . 说明：二次函数y^d-^)214.若(3x -1)^ = a 7x^ '"6a 6X 中…+a 1x + a 0, 求(1) a 1 +a 2令X =1，贝y 87 +a6 屮…★a r + a0=27 =128 . ①• a1 +a2 卡…+a7 =129(2)令x =—1，则一a7 + a6 — a5 十a4 — a3 + a2 — a1 十a0 = (^4) ②由鼻②得：81 +83+85 + 87 =1[128_( -4)7] =82562 2⑶由土空得:2a。