6）三方晶系：R
三方I = 三方P
三方F = 三方P
单独在某个面加心会破坏三次轴对称性。
7）六方晶系：P
在平行六面体体心或底心位置加阵点会破坏六次 轴对称性。
绿色点在c/2位 置， 蓝色点在0或c 位置。
在平行六面体面心位置加阵点会破坏六次轴对称性。
淡蓝色点在2c/3 位置。
黄色点在c/3位置。
a1 • a2 = m1 • a/2 • m2 • a/2 = m1 • m2 • a = t • a = T 推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移操作， 并且该平移操作垂直于滑移面的分量也是一个平移操作。
定理二：平移t及垂直于平移的反映面的连续操作相当 于与该反映面相距t /2处的一个反映面的反映操作。
六方格子与三方格子的关系
六方平面点阵沿垂直于ab 面的c方向平移得到六方晶 系的空间点阵。
六方平面点阵平移矢量为：t = 2a/3 + b/3 + c/3, 得到的空间点阵 只有三次轴，为三方晶系的空间 点阵。
三方点阵的三方格子可以取成一个六方定向的双体 心复杂格子，该格子的c轴平行于三次轴，a，b轴在垂直 于三次轴的点阵面上，它是一个三方三重复格子。同样， 六方点阵的六方格子可以取成一个三方定向的双体心复 杂格子，它是一个六方三重复格子。
左旋和右旋螺旋轴有以下关系： 左旋螺旋轴nm = 右旋螺旋轴nn-m 0 (c) 右旋43螺旋轴 c/4 c/2 3c/4 左旋41螺旋轴
与旋转轴不同，螺旋轴的旋转方向的不同会导致不 同的对称结构。如左旋41和右旋42 3c/4
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。 点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体结 构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R可 以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。 十四种空间格子反映了晶体结构中平移对称的组合规律。 任何一种点阵格子，都具有基本平移矢量a, b, c以及a + b, a + c, b + c, a + b + c等。 对于复格子，则增加附加平移矢量: C格子：(a + b)/2, B格子：(a + c)/2, A格子：(b + c)/2 I格子：(a + b + c)/2 F格子：(a + b)/2, (a + c)/2, (b + c)/2
推论：平移T与滑移面G斜交，如滑移面的平移分量为 g1, T在垂直于滑移面的平移分量为t，平行于滑移面G 的平移分量为g2，则存在一平行于G的滑移面G’，它与 滑移面G’相距t/2，滑移操作的平移分量为g1 + g2。 G • T = m • g1 • t • g2 = m1 • g1 • g2 = G’
第四节 空间群
• 晶体的微观对称元素有以下七类： 1、旋转轴：1，2，3，4，6 2、反映面：m 3、对称中心：1 4、反轴：4 5、螺旋轴：21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65 6、滑移面：a，b，c，n，d 7、平移 这七类对称元素的在空间的组合所表现出的对称性的集合 即为空间群，它反映了晶体微观结构的全部对称性。
对于滑移面，为使滑移面的平移分量不与点阵矛盾， 经过两次滑移操作，其平移分量和应属于点阵的平 移矢量。 点阵格子的平移矢量都有a, b, c及 a+b, a+c, b+c, a+b+c, 对应的滑移面平移分量可以为： 1、 a/2, b/2, c/2 – a、b、c滑移面，统称为轴向滑移面。 2、(a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2, (a+b+c)/2 – n滑移面，对角线 滑移面。 复格子产生附加平移矢量： (a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2, (a+b+c)/2，对应滑移面的平移分量可以为： 3、(a+b)/4, (a+c)/4, (b+c)/4, (a+b+c)/4 – d滑移面，金刚 石滑移面
m • t = m • m1 • m2 = I • m2 = m2
推论：平移t及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距t /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
a • t = m • a/2 • t = m2 • a/2 = a2
d • a = m • (b+c)/4 • a • = ma/2 • (b+c)/4 = da/2
金刚石结构沿[001]方向的投影
螺旋轴（screw axe）：晶体结构围绕一条直线旋转一定 角度后，再沿着该直线方向平移一定距离，结构中的每 个质点均与相同质点重复。相应的对称操作为旋转和平 移的复合操作。 4•c= 4 在晶体的微观对称性中，旋转 操作等同于旋转与点阵平移矢 量的复合操作。 对于晶体结构中的旋转和平移 复合操作，如平移分量为点阵 平移矢量的分数值。则进行旋 转操作所依据的直线即为螺旋 轴。 4 • c/2 = 42
第二节 晶体的微观对称元素
晶体的宏观对称性是晶体结构微观对称性的反映。 晶体的宏观对称元素在微观对称中也同样存在。晶体 结构是由其结构单位（晶胞）在三维空间上的无限排 列，晶体的微观对称性还具有宏观对称不能出现的对 称元素—平移，平移和旋转或反映的复合对称操作， 又产生新的对称元素，螺旋轴和滑移面。它们是在微 观的无限空间中所特有的，称为微观对称元素。 微观对称性和宏观对称性的主要区别： 1、宏观对称性对称元素必须相交一点，微观对称性 中对称元素不须交于一点，可以在三维空间无限分布。 2、宏观对称性中对称元素只考虑方向，微观对称性 中需要考虑对称元素的相互位置关系。
第四章 晶体的微观对称性
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 十四种空间格子 晶体的微观对称元素 微观对称元素组合原理 空间群 等效点系
第一节 十四种空间格子
• 点阵的对称类型 三斜格子：C 单斜格子：L2 PC 正交格子：3L2 3PC 四方格子：L4 4L2 5PC 三方格子：L3 3L2 3PC 六方格子：L6 6L2 7PC 立方格子：3L4 4L3 6L2 9PC
金刚石结构沿[001]方向的投影
第三节 微观对称元素组合原理
• 平行反映面（滑移面）的组合 • 平移与正交反映面（滑移面）的组合 • 平移与斜交反映面（滑移面）的组合 • 旋转轴（螺旋轴）与垂直平移的组合 • 旋转轴（螺旋轴）与斜交平移的组合
定理一：两个互相平行反映面的连续操作相当于一个平 移操作，其平移距离为反映面间距的二倍。 m1 • m2 = T
b • (a+b) = m • b/2 • a • b = m • a • b • b/2 = ma/2 • b • b/2 = ma/2 • b/2 = ba/2 NaCl结构沿[001]方向的投影
定理四：基转角为α的旋转轴A与垂直于它的平移T连续动 作相当于与A平行的旋转轴B，其基转角也为α，旋转方向 与A相同，且B位置取决于α和T。
三斜C = 三斜P
三斜F = 三斜P
2）单斜晶系：P，C 单斜B = 单斜P，单斜I = 单斜C，单斜F =单斜C 3）正交晶系：P，C，I，F 4）四方晶系：P，I 四方C = 四方P，四方F = 四方I A或B面加心会破坏四次轴对称性。 5）立方晶系：P，I，F 单独在某一面上加心会破坏四个三次轴对称性。
•晶体外形所具有的宏观对称元素，在微观晶体结构中，加 入平移成分，可以表现为不同的微观对称元素。如宏观的 反映面，在晶体微观结构中可以为反映面，也可以是不同 的滑移面，或者是相互平行排列的反映面和滑移面；旋转 轴既可以表现为旋转轴，也可以为螺旋轴。因此，属于同 一点群的晶体，可以属于不同的空间群。属于同一宏观点 群的所有空间群，称为与该点群同形的空间群。 以点群为m3m的晶体为例： CsCl NaCl Pm3m Fm3m 垂直于a方向为m 垂直于a方向m，b，c共存 垂直于a方向为d
• 空间格子的选取方式
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固 有对称性。 2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。 3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜晶系：P
三斜I = 三斜P
金刚石 Fd3m
CsCl结构沿c方向投影
NaCl结构沿c方向的投影
金刚石结构沿c方向的投影
• 空间群的国际符号由两部分构成，第一个大写字母表示点 阵类型，第二部分标明空间群的特征对称元素，其定向和 符号形式与点群相同，但增加了螺旋轴和滑移面。如果空 间群的微观对称元素用相应的宏观对称元素取代，则得到 晶体的点群。 对称元素选取的一般原则： 1、反映面m 2、滑移面a，b，c，n，d 3、旋转轴 4、螺旋轴 5、反轴
定理三：平移T与反映面m斜交，如T在垂直于反映面的 平移分量为t，平行于反映面的平移分量为g，则存在一 平行于m的滑移面G，它与反映面相距t/2，滑移操作的 平移分量为g。
m • T = m • t • g = m1• g = G
m • (a+b)/2 = m • a/2 • b/2 = ma/4 • b/2 = ba/4 NaCl结构沿[001]方向的投影
与旋转轴的轴次类似，螺旋轴的轴次n只能为1，2，3， 4，6。为使螺旋轴作用结果与点阵一致，螺旋轴经过n 次作用后的平移分量和应为点阵平移矢量的整数倍， 即： nt = mT 或 t = mT/n 其中：n为螺旋轴轴次， t 为螺旋轴平移分量，T 为晶 体结构的点阵平移矢量，m为小于n的正整数。 对于取定的n，m取小于n的不同整数，可以得到不同的类 型的螺旋轴，记为nm，表示平移分量为m T/n的n次螺旋轴。 晶体结构中允许存在的螺旋轴类型为：21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65。