Ex'
E
' y
=
'
Ex'
E
' y
'
A
Ex Ey
' zx
' zy
' zz
Ez'
Ez'
Ez
' A =A
可得 '=A A-1
例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明
设对称操作对应的正交变换
a11 A a12
a12 a22
a13 a23
且有
A1 AT
a13 a13 a33
1 0 0 0 1 0
0
0
1
5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个
例2 正四面体的对称操作
四个原子位于正四面 体的四个顶角上，正 四面体的对称操作包 含在立方体操作之中
1) 绕三个立方轴转动
2) 绕4个立方体对角线轴
转动 2 , 4
33
—— 8个对称操作
s
2
in
2 0
代入 A A1, 得
sin
2
cos
2 0
0
0
1
0 1
0
1 0 0 0 0 1
11 22 , 12 21
即：
11 12
12 11
0 0
0 0 33
13 23 0,31 32 0
进一步选取对称操作B为绕X轴旋转/2，可得
11 33, 12 0
以加法为运算法则。 注意：一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，
其运算法则为连续操作。
一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群
1. 单位元素 —— 不动操作
2. 任意元素的逆元素 —— 绕转轴角度，其逆操作为绕转 轴角度－ ；中心反演的逆操作仍是中心反演；
3.连续进行A和B操作 —— 相当于C操作
【1】已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度
· 是2.167*103kg m-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。
【解】固体密度ρ=Zm/V，其中V是晶胞体积，Z是晶胞中的分子数，m为分 子的质量。 每个分子的质量m为
于是得到
m
58.46*10-3
kg/mol
1mol 6.02*1023
' zx
' zy
' zz
Ez'
新坐标系中：
左边：D'
=
Dx' Dy'
AD
A
Dx Dy
A
xx yx
xy yy
xz yz
Ex Ey
A
Ex Ey
Dz'
Dz zx zy zz Ez
Ez
右边：D'
' xx
' yx
' xy
' yy
' xz
' yz
—— 共有3个对称操作
1 0 0
3)
不动操作
0
1
0
0 0 1
—— 1个对称操作
注：立方轴、体对角线、面对角线都是参照立方体的体心为原点的坐标系来讨论的
4) 绕三个立方轴转动 , 3 加中心反演
22
—— 6个对称操作
5) 绕6条面对角线轴转动
加上中心反演 —— 6个对称操作
正四面体的对称操作共有24 个，包含在正方体中。
同时也是2重旋转－反演轴，计为 2
体对角线轴 ( 2 , 4 ) 为3重轴，计为3
33 同时也是3重旋转－反演轴，计为 3
例2： 正四面体
立方轴是4重旋转－反演轴 —— 不是4重轴
面对角线是2重旋转－反演轴 —— 不是2重轴 体对角线轴是3重轴 —— 不是3重旋转－反演轴
对称操作群
群：代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，并且满足下列 性质 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
• 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1
x" r cos( ) r cos cos r sin sin x 'cos y 'sin y " r sin( ) r sin cos r cos sin x 'sin y 'cos
原的操作叫对称操作。 • 对称操作据以进行的几何要素叫做对称元素
1. 旋转轴与旋转操作：将物体绕通过其中心的轴旋转一定的角度 使物体复原的操作。能使物体复原的最小旋转角（0°除外）称 为基准角α；物体旋转一周复原的次数称为旋转轴的轴次n， n=360 °/ α； 旋转轴的符号为Cn； 晶体只存在C2,C3,C4,C6旋转轴；晶体中可存在一条或多条旋转轴。
晶体中最多可有一个对称中心。
i
4. 反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，
即旋转与反演的乘积。反轴写为In。
旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
1i
1 2
2m
1
1
2
3 3i
3
5
1 4
6 2
6=3+m
3 3
5 5
1
1
6
2' 2
6 4
4
A B
D C
H G
E
F
7
4
3 1 3
1
2
4
2 4
D
即：
11
0
0
11
0 0
0 0 11
最后得到 ij 0 ij
☆六角对称晶体，将坐标轴取在 六角轴和垂直于六角轴的平面 内介电常数具有如下形式
|| 0 0 0 0 0 0
平行轴（六角轴）的分量 D|| ||E|| 垂直于六角轴平面的分量 D E
—— 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 —— 立方晶体的光学性质则是各向同性的
A 操作 —— 绕OA轴转动/2 B 操作 —— 绕OC轴转动/2
上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点
S’
—— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3
上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点 —— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3
表示为 C BA
—— 群的封闭性
可以证明
A(BC) ( AB)C
31 32 33
—— 在坐标变换下
' AA1
原坐标系中：
新坐标系中：
D=
Dx Dy
xx yx
xy yy
xz yz
Ex Ey
D'
=
Dx' Dy'
' xx
' yx
' xy
' yy
' xz
' yz
Ex'
E
' y
Dz zx zy zz Ez
Dz'
A
G
H
C
B F
E
正四面体既无四 度轴也无对称心
4. 反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演
的乘积。反轴写为In。 5. 恒等元素E与恒等操作：即物体不动的操作。
点对称操作： (1)旋转对称操作：1，2，3，4，6 度旋转对称操作。
C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示）
(2)旋转反演对称操作： 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。 S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）
晶体的对称性有宏观对称性和微观对称性之分， 前者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观结构的 对称性。本节我们主要学习晶体的宏观对称性。
主要内容：
1. 宏观对称元素
2.宏观对称性的数学描述
3.三种几何体的对称操作
4. 群/对称操作群
5.宏观对称性与物理性质
• 对称是指物体相同部分作有规律的重复。 • 不改变物体/图形中任何两点的距离而能使图形复
电位移
☆对于立方对称的晶体，其为对角张量
0 , 立方对称
因此，介电常数可看作一个简单的标量 D 0 E
例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明
设对称操作对应的正交变换
a11 A a12
a12 a22
a13 a23
且有
A1 AT
a13 a13 a33
11 12 13 介电常数 21 22 23
• n重旋转轴：一个物体绕某一个转轴2π/n以及它的倍数不变 时，这个轴称为n重旋转轴，记作n。
• n重旋转-反演轴：一个物体绕某一个转轴2π/n加上中心反 演的联合操作以及其联合操作的倍数不变时，这个轴称为n
n 重旋转轴，记作 。
例1： 立方体
立方轴 ( , , 3 ) 为4重轴，计为4
22 同时也是4重旋转－反演轴，计为 4 面对角线 ( )为2重轴，计为2
11 12 13 介电常数 21 22 23
31 32 33
A为对称变换 '
—— 在坐标变换下
Y’ ' AA1
X’ 绕z轴逆时针转90°
y
x
—— 对于立方晶体，选取对称操作A为绕Z轴旋转/2
cos
a11
A a12
a13
a12 a22 a13
a13 a23 a33
av1
a 2
v i
3a 2
v j,
av2
a 2
v i
3a 2
v j,
av3
v ck