基础物理实验研究性报告牛顿环干涉院系名称：宇航学院专业名称：飞行器设计与工程（航天工程）第一作者：隋婷婷11151147第二作者：罗通11151021二零一二年十一月摘要本文根据光的干涉原理，将一曲率半径相当大的平凸玻璃透镜放在一平面玻璃上，构成牛顿环仪。

通过测量圆环形干涉条纹——牛顿环的半径和级数算出平凸玻璃透镜的曲率半径。

最后，根据光的折射和反射定律，通过精确计算两干涉光束的光程差，给出了牛顿环干涉较严格的条纹半径公式，对误差来源进行了进一步定量分析。

关键词：干涉，牛顿环，光程差，曲率半径AbstractBased on the principle of interference of light, there is a large radius of curvature of plano-convex glass lens on a flat glass constituting Newton's rings instrument. By measuring the annular interference fringes -the radius of the Newton's rings and progression calculates the radius of curvature of the plano-convex glass lenses. Finally, according to the refraction of light and the law of reflection, the accurate calculation of two interference of the optical path of the light beam given Newton ring interference the more stringent fringes radius formula further quantitative analysis of the error sources.Keywords:interference, Newton's rings, optical path difference, radius of curvature一、实验原理如图所示，自光源S发出的光经过透镜后成为平行光束，再经过倾斜为45度的平面玻璃反射后，进入读数显微镜T，在读数显微镜中可以观察到以接触点为中心的圆环形干涉条纹——牛顿环。

当光源发出的光是单色光，则牛顿环是明暗相间的条纹。

R 2=r 2+(R −d)化简后得 r 2=2Rd −d 2 当R ≫d 时，上式中的d 2可以略去，因此d =r 22R将此值带入上述干涉条件，并化简，得r 2=(2k −1)R λ2 (k=1,2,3,……) 明环r 2=kλR (k=0,1,2……) 暗环由式可以看出，如果测出了明环或暗环的半径r ，就可以定出平凸透镜的曲率半径R 。

在实际测量中，暗环比较容易对准，故以测量暗环为宜，通常测量直径D 比较方便，于是公式可变形为D 2=4kλR (k=0,1,2……)由于接触点处不干净以及玻璃的弹性形变，因此牛顿环的中心级数k 难以确定，计算时需做适当处理。

二、实验仪器牛顿环仪、读数显微镜、钠光灯三、实验步骤1) 干涉条纹的调整按图放置仪器，光源S 发出的光经平面玻璃的反射进入牛顿环仪。

调节目镜清晰地看到十字叉丝，然后由下向上移动显微镜镜筒（为防止压坏被测物体的物镜，不得有上向下移动），看清牛顿环干涉条纹。

2) 牛顿环直径的测量连续测出10个以上干涉条纹的直径。

提示：a) 测量前先定性观察条纹是否都在显微镜读数范围之内；根据光的干涉条件，在空气厚度为d 的地方，有2d +λ2=kλ(k=1,2,3,……) 明条纹2d +λ2=(2k +1)λ2(k=0,1,2,……) 暗条纹 式中，左端的λ2⁄为“半波损失”。

令r 为条纹半径，从左图给出的几何关系得b)由于接触点附近玻璃存在形变，股中心附近的圆环不宜用来测量；c)读数前应使叉丝中心和牛顿环的中心重合；d)为了消空程误差，要保证单方向转动鼓轮，而且要在叉丝推进一定距离以后才开始读数。

3)数据处理四、数据记录与处理1)原始数据记录2)数据处理因为接触点处不干净，以及玻璃的弹性形变，牛顿环的中心级数k不易确定，设其为k0，则距中心第i条条纹级数k=k0+i用一元线性回归的方法处理数据，令i为x，D i=|x i−x i′|，则令D i2为y。

因为D i2=4(k0+i)λR=4k0λR+4iλR，对应y=a+bx，有b=4λR,a= 4k0λRx̅=110∑i=15.5 y̅=110∑D i2=73.6529601 x2̅̅̅=110∑i2=248.5x̅y̅=1141.620882y2̅̅̅=5547.625917xy̅̅̅=1173.457762b=xy̅̅̅̅−x̅y̅x2̅̅̅̅−x̅2=3.859015758 R=b4λ=3.859015758×10−64×583.9×10−9×103=1652.258845mmr=√(x2−x̅2)(y2−y̅2)=0.999965963≈1所以i与D i2线性相关强烈u (b )=b√1k−2(1r 2−1)=0.011257 u (R )=14λu (b )=4.819746532mm ≈5mm 所以(R ±u(R))=(1652±5)mm 相对误差为u(R)R=0.0030 所以误差较小五、关于误差的讨论本实验中计算亮纹和暗纹的公式分别为:r =√(k −12)Rλ(亮纹)与r =√kRλ(暗纹),其中R 为平凸透镜的曲率半径,λ为人射光的波长,k 为非负整数，并由此推出计算凸透镜的直径公式：D 2=4kλR 。

但实际上该公式是一个近似公式，使用它来计算透镜曲率半径在某种情况下必定会造成一定的误差，其实不难推出干涉环的精确公式，一下将给出精确公式的推导、讨论以及相应的结论！ 1. 半径公式的推导如图所示，一束垂直入射的光束将在透镜的曲面上发生发射与折射，如在A 点发生的折射光束，进入空气薄膜，在平面玻璃的上表面B 点发生发射，然后在C 点折射进入透镜，这束光与入射光在C 点的直接发射光发生干涉，这样的两束相干光产生明暗相间的圆环干涉条纹。

由折射定理可得：n sin i =sin j(1)同时由图中的几何关系可知：sin i =r1R ⁄(2) R 2=r12+(R −d1)2→r12=2R ∙d1−d12 (3) R 2=r22+(R −d2)2→r22=2R ∙d2−d22(4) r1−r2=(d1+d2)∙tan (j −i )(5) 由（1）～（5）式可得： r1=r2[1+(n −1)(r22R 2+r244R 4)](6) 在C 点发生干涉的两光束光程差为：∆=d1+d2cos (j−i )−n (d1−d2)+λ2(7)而教科书中采用的光程差公式为∆=2d +λ2,该公式只是（7）式在i ≈0前提下的一个近似表达式，若采用该式来计算牛顿环干涉光程差势必造成一定的误差。

将（1）～（4）式和（6）式代入（7）式中可得：∆=r22R[1−12(n −1)2r22R 2+r224R 2]+λ2 （8’）r2即为条纹半径，所以设条纹半径为r 则有：∆=r 2R[1−12(n −1)2r 2R 2+r 24R 2]+λ2(8)当光程差满足一下条件是分别为亮纹和暗纹： ∆={2k ∙λ2 ⋯亮纹(2k −1)λ2⋯暗纹（k 为整数）将（8）式代入上式得牛顿环干涉的半径公式为：亮纹:r =√(k −12)Rλ+12(k −12)2λ2(1−4n +2n 2) k =1,2,3⋯（9）暗纹:r =√kRλ+12k 2λ2(1−4n +2n 2) k =1,2,3⋯ (10）由暗纹半径公式导出的透镜曲率半径公式为：R =r 2−12k 2λ2(1−4n+2n 2)kλ(11)2. 分析及讨论 (1).定性分析由式（9）和（10）可知，牛顿环的条纹半径不仅与条纹的级数、入射光的波长以及透镜的曲率半径有关，还与透镜材料的折射率有关。

计算透镜半径用的是暗纹半径，所以以暗纹半径为例，本文导出的半径与课本中的半径之间的偏差为：∆r =√kRλ+12k 2λ2(1−4n +2n 2)−√kRλ≈2224√kRλ(12)由式（12）可知，当1−4n +2n 2>0,即n >1+√22时，∆r >0，牛顿环条纹的实际半径将大于课本所给出的近似半径，且随着n 的增大，|∆r |增大；而1−4n +2n 2<0,即1<n <1+√22时，∆r <0，牛顿环条纹的实际半径将小于课本所给出的近似半径，且随着n 的减小，|∆r |增大。

∆r 还与条纹级数、透镜曲率半径和入射光波波长有关。

随着条纹级数和光波波长的增长，|∆r |增大；而透镜曲率半径越小，则|∆r |越小。

而本实验用暗纹所测的透镜曲率半径与课本中的半径之间的偏差为：∆R =r 2−12k 2λ2(1−4n+2n 2)kλ−r 2kλ=−kλ2(1−4n +2n 2)(13)由式（13）可知，当1−4n+2n2>0,即n>1+√2时，∆R<0，透镜的2实际曲率半径将小于课本所给出的近似半斤，且随着n的增大，|∆R|增大；而1−4n+2n2<0,即1<n<1+√2时，∆R>0，牛顿环条纹的实际半径将小于2课本所给出的近似半径，且随着n的减小，|∆R|增大。

∆R还与条纹级数和入射光波波长有关。

随着条纹级数和光波波长的增长，|∆R|增大。

(2).定量分析当R=0.1m,λ=600nm时，∆r r⁄随级数k和折射率n的变化由matlab处理后有如下图示：由图可知，当kλ|1−4n+2n2|≪R时，即条纹级数较小，同时透镜的曲率半径较大的情况下，∆r r⁄的数量级非常小，式（9）、（10）可以写为：)Rλ k=1,2,3⋯亮纹: r=√(k−12(14)暗纹: r=√kRλk=1,2,3⋯(15)而在透镜折射率和光波波长一定时，通过牛顿环测得的透镜曲率半径的误(1−4n+2n2)]∙k差与级数成线性关系：∆R=[−λ2实验中钠光波长λ=589.3nm,透镜折射率取用玻璃折射率n=1.5则：∆R=(147.325×10−9∙k)m.̅̅̅̅=147.325×10−9×15.5=当测11～20级条纹时平均误差为：∆R2.3×10−3mm≪1mm,误差在允许范围内所以可以用课本上的近似公式计算半径。