F 是 PB 中点， E 是 BC 中点．
17．请你设计一个包装盒， ABCD 是边长为10 2cm 的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰 三角形，在沿虚线折起，使得 A ， B ， C ， D 四个点重合于图 2 中的点 P ，正好形成一个正四棱锥形状的
包装盒（图 2 所示），设正四棱锥 P EFGH P﹣EFGH 的底面边长为 xcm ．
由 FG x 得 OM 1 x ， PM BM 10 1 x ，
2
2
因为 PM OM ，即10 1 x 1 x ， 22
所以 0 x 10 ，
因为 S 4 1 FG PM 2 10 1 x 20x x2 ，
2
2
由 20x x2 75 ，可得 5 x 15 ，
r2 d2 2
r2
2k 2 1 k2
．
MN PQ ，2
2
1 k2 1 2k 2
2
r2
2k 2 1 k2
，
化简整理得
r2
6k 4 2k 4
6k 2 3k 2
2 1
3
3k 2 1 2k 4 3k 2 1
令 3k 2
1 t
1 ，则 r2
3
2 t2 9
t 5t
9
2 9
3
1
2 2t 9 9t
3
2
3
1 2 x2y 4 4 2 .
ab
3
13. 已知函数 f x x3 ax2 4x 1 在（0，2]上是增函数，函数 gx ln x a 2ln x ，若 ，
，
（e 为自然对数的底数）时，不等式 gx1 gx2 5 恒成立，则实数 a 的取值范围是
【答案】
2,
5 2
所以 5 x 15 . x
答： x 的取值范围 5,10 ，
（2）因为在 RtOMP 中， OM 2 OP2 PM 2 ，
所以 OP PM 2 OM 2 100 10x ，
V 1 FG2 OP 1 x2 100 10x 1 100x4 10x5 ,0 x 10 ，
3
3
3
设 f x 100x4 10x5,0 x 10 ，
天一中学填空后四题
锤子数学精彩解析
11.
定义：如果函数 y
f x 在区间 a,b，可上存在 x0a x0 b ，满足
f x0
f
b
b
f a
a
，则称
x0
是函
数 y f x 在区间 a,b上的一个均值点．已知函数 f x 4x 2x1 m 在区间 0,1 上存在均值点，则实数 m
的取值范围是 ▲ .
联立
y kx x2 y 2
2
1
1 2k 2
x2
2 ，所以 x1
2 1 2k 2
， x2
2 1 2k 2
，
MN
1 k 2 x1 x2
1k2 2
2 1 2k 2
2
2
1 k2 1 2k 2
，
∵ A 为椭圆的右顶点，∴ ， ，
2k
∴点 A 到直线 l 的距离为 d
，
1 k2
PQ 2
综上 2 a 5 2
14. 在平面直角坐标系 xOy 中，A 和 B 是圆 C：（x﹣1）2+y2＝1 上两点，且 AB
1），则 2PA PB 的取值范围为
【答案】 5 2, 5 2
解：令 2PA PB PE
PA
1
PB
1
PE
22
A是BE中点
▲．
，点 P 的坐标为（2，
EB AB ， PA AB A EB 平面 PAB
AF 平面 PAB AF EB
PA AB 1 ， F 是 PB 中点， AF PB
EB PB B ， AF 平面 PBC
PE 平面 PBC
AF PE ；
（III）解： E 是 BC 中点 EF // 平面 PAC ， PC 平面 PAC ， EF // PC
3
解集为 ▲ ．
10. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2， BC 平行于 x 轴，顶点 A ， B 和 C 分别在函数 y1 3loga x ，
y2 2loga x 和 y3 loga xa 1 的图象上，则实数 a 的值为 ▲ ．
【答案】
1. x x 0
6. 31
2. 1
7. 1,2
t
▲．
方法二：
由 4ab 4a 4b 3 0 两边同除以 ab 得 4 4 4 3 0 ， b a ab
令 1 x ， 1 y ，上式变为： 3xy 4x 4 y 4 0
a
b
3x 43y 4 4 x 4 3x 46 y 8 8 3x 6 y 12 2 x 2 y 4 4 2
解：（1）∵椭圆的焦距为 2，∴ 2c 2 ，即 c 1 ，
∵右焦点到右准线的距离为 1， a2 c 1 ，a2 2 ，b2 a2 c2 1 ， c
故椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 1 ． 2
（2） MP NQ ， MP PN NQ PN ，即 MN PQ ．
设 M ， N 的坐标为 x1, y1 ， x2, y2 ，
5 9
3
2
1
2，
2
2t 9 5 9 t9
∴
，
又∵点 P 在线段 MN 上，∴圆 A 的半径要小于椭圆左右两顶点之间的距离，即 ＜ ，
综上所述， r 的取值范围为 2,2 2 ．
19．已知数列 an的前 n 项和 Sn 满足 2Sn 3an 1n N * ．
（1）求数列 an的通项公式；
3
18． 已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1a
b 0 焦距为
2，右焦点到右准线的距离为
1，
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）圆 A 以椭圆的右顶点为圆心， r 为半径，若存在过原点的直线 l ： y kx 交椭圆 C 于 M ， N 两点，交
圆 A 于 P ， Q 两点，点 P 在线段 MN 上，且 MP NQ ，求圆 A 的半径 r 的取值范围．
（2）若方程
f
x
m
0
在区间
4
,
上有两个不同的实数解，求实数
m
的取值范围．
解： f x 1 3 cos 2x 2sin2 x 3 cos 2x cos 2x 3 cos 2x sin 2x 2sin 2x
4
2
3
T 2 2
由 2k 2x 3 2k k Z ，
【答案】 2,1
解： f x f 1 f 0 m 1 m 1
10
4x0 2 2x0 m 1 m 2x0 2 2 2x0 1 2x0 1 2 2 2, 1 .
12. 已知 0＜a＜1，0＜b＜1，且 4ab 4a 4b 3 0 ，则 1 2 的最小值是 ab
取 AB 中点 D ， AB 2 ，则 CD= 2 ，DE= 3 AB 3 2
2
2
2
CE 5 E 点轨迹为 x 12 y2 5 ， pc 2
PE 5 2， 5 2
2020 届江苏省天一中学高三数学第二学期数学综合试卷二
一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答
3. 6 8. 8
25
4. 16
9. x1 x 4
5. 7 10
10. 2
二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数 f x 1 3 cos 2x 2sin2 x ，
4
（1）求 f x的最小正周期和单调递减区间．[来源:Z&xx&]
（2）记
bn
an
an
1an1
1
， Tn
是数列{bn}的前
nபைடு நூலகம்
项和，若对任意的
n
N
*
，不等式都成立，求实数
k
的
取值范围；
（3）记
cn
an an
2
，是否存在互不相等的正整数
m
，s
，t
，使
m
，s
，t
成等差数列，Tn
1 4
k n 1
且
cm
1
，
cs 1 ， ct 1 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的 m ， s ， t ；如果不存在，请说明理由．
5. 某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门课程学习，则该同
学“选到文科类选修课程”的概率是 ▲ ．
6. 等比数列 an中， a1 1 ，前 n 项和为 Sn ，满足 S6 3S5 2S4 0 ，则 S5 ＝ ▲ ．
7.
若双曲线
x2 a2
y2 b2
【答案】 4 4 2 3
解：方法一：
4ab 4a 4b 3
1 4b 4 a 4b 3
1 a
2 b
1
b
7b b
4b 3
令 7b 6 t 6,1 b t 6
7
1 a
2 b
1
4t 2
49t 18
27t
t
0时
,
1 a
2 b
1
4t
49 18
27
1
27
49 12
2
4 4 2 . 3
解：（1）因为数列 an的前 n 项和 Sn 满足 2Sn 3an 1n N * ， 所以当 n 2 时， 2Sn1 3 an1 1 ， 两式相减得： 2an 3an 3an1 ，即 an 3an1n 2 ， 又 n 1时， 2S1 3a1 1 ，解得： a1 3 0 ， 所以数列 an是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，从而 an 3n ．