2021年上海市高考数学压轴题总复习
1．已知焦点在x 轴上的椭圆x 29+y 2
b =1（b ＞0）的离心率e =23
，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，B 1，B 2分别是椭圆的上、下顶点，P 是椭圆上任意一点（不与B 1，B 2，重合），O 为坐标原点．
（1）若线段PF 1的中点在y 轴上，求|PF 2|
|PF 1|的值；
（2）若直线PB 1，PB 2分别与x 轴交于点M ，N ，求证：|OM |•|ON |为定值．
解：（1）由题意可得a ＝3，e =c a =23，可得c ＝2，而b 2＝a 2﹣c 2＝5，
所以椭圆的方程：x 29+y 25=1；
设线段PF 1的中点为G
因为O 是线段F 1F 2的中点，所以OG ∥PF 2，PF 2⊥x 轴，
所以|PF 2|=53|，PF 1|＝2a ﹣|PF 2|=133，故|PF 2||PF 1|=513
， （2）令P （x 0，y 0），则x 0≠0，
x 029+y 025=1，
即5x 02＝9（5﹣y 02），
易知B 1（0，√5），B 2（0，−√5），
所以l B 1P ：y −√5=y 0−√5x 0（x ﹣0）， l B 2P ：y +√5=y 0+√5x 0
（x ﹣0）， 令y ＝0，得x N =√5x 0
y 0+5，
所以可证：|OM |•|ON |＝|√5x 0y 0−√5||√5x 0y 0+√5||5x 02
y 0−5
|＝9． 2．已知函数f （x ）=a 4x 4+b 6x 3﹣cx 2﹣mx +lnx ．
（Ⅰ）当a ＝c ＝1，b ＝0时，f （x ）在定义域上单调递增，求m 的取值范围； （Ⅱ）当a ＝c ＝0，b ＝1时，f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，求证：x 1+x 2＞2． （Ⅰ）解：易知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），
由题意知函数f （x ）=14x 4﹣x 2﹣mx +lnx ，
所以f ′（x ）＝x 3﹣2x ﹣m +1x ≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m ≤x 3﹣2x +1
x 在（0，+∞）上恒成立，
令函数g（x）＝x3﹣2x+1
x（x＞0），
则g′（x）＝3x2﹣2−1
x2
=3x
4−2x2−1
x2
=(3x
2+1)(x2−1)
x2
，
所以当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，1）上单调递减，
则当x＝1时，g（x）取得最小值，即g（x）min＝g（1）＝0，
故m≤0．
（Ⅱ）证明：由题意的f（x）=1
6x
3﹣mx+lnx（x＞0），
令f′（x）=1
2x
2﹣m+1
x
=0，得m=12x2+1x，
设函数h（x）=1
2x
2+1
x（x＞0），
则h（x1）＝h（x2），且函数h（x）在（，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，不妨设x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x2，
令函数H（x）＝h（x）﹣h（2﹣x），x∈（0，1），
则H′（x）＝x−1
x2
+2﹣x−1
(2−x)2
=2−2x
2−4x+4
x2(2−x)2
=2(x−1)
2[(x−1)2−3]
(2x−x2)2
，
所以函数H（x）在（0，1）上单调递减，
又H（1）＝0，故H（x）＞H（1）＝0恒成立，
则h（x）＞h（2﹣x）对x∈（0，1）恒成立，
因为0＜x1＜1，所以h（x1）＞h（2﹣x1），即h（x2）＞h（2﹣x1），
又x2＞1，2﹣x1＞1且函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2．
3．已知函数f（x）＝（x﹣1）（x2+2）e x﹣2x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞﹣x2﹣4．
解：（1）函数f（x）＝（x﹣1）（x2+2）e x﹣2x的导数为f′（x）＝（x3+2x2）e x﹣2，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝﹣2，切点为（0，﹣2），则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣2x﹣2；
（2）证明：要证f（x）＞﹣x2﹣4，即证（x﹣1）（x2+2）e x＞2x﹣x2﹣4，
设g（x）＝（x﹣1）（x2+2）e x，g′（x）＝x2（x+2）e x，
当x＞﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜﹣2时，g′（x）＜0，g（x）递减，
可得g（x）在x＝﹣2处取得极小值，且为最小值﹣18e﹣2；
设h（x）＝2x﹣x2﹣4，可得h（1）为最大值﹣3．
由﹣18e﹣2＞﹣3，可得（x﹣1）（x2+2）e x＞2x﹣x2﹣4恒成立，则f（x）＞﹣x2﹣4．
4．已知函数f（x）=lnx
x+a（a＞0）．
（1）当a＝1时，证明：f（x）≤x−1 2；
（2）判断f（x）在定义域内是否为单调函数，并说明理由．解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
证明：当a＝1时，f（x）=lnx
x+1，
欲证f（x）≤x−1 2，
即证lnx
x+1≤
x−1
2
，
即证2lnx﹣x2+1≤0．
令h（x）＝2lnx﹣x2+1，
则h′（x）=2
x
−2x=−2(x−1)(x+1)
x，
当x变化时，h'（x），h（x）变化情况如下表：
x（0，1）1（1，+∞）h'（x）+0﹣
h（x）↗极大值↘
所以函数h（x）的最大值为h（1）＝0，故h（x）≤0．
所以f（x）≤x−1 2；
（2）函数f（x）在定义域内不是单调函数．理由如下：
令g（x）＝﹣lnx+a
x
+1，
因为g′（x）=−1
x
−a
x2
=−x+a
x2
＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减．注意到g（1）＝a+1＞0．
且g（e a+1）＝﹣lne a+1+
a
e a+1
+1＝a（
1
e
−1）＜0，。