上海历年高考数学压轴题题选(2012 文)23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于项数为m的有穷数列a n，记b k max印©,…©（k 1,2,..., m），即b k为a i,a2,...,a k中的最大值，并称数列b n是a n的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列a n的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的a n（2）设b n是a n的控制数列，满足3k b m k 1 C（C 为常数，k 1,2,..., m），求证：b k a k（k 1,2,..., m）(3)设m100，常数a 1 n(n 1),1 ，若a n an? ( 1) 2n，b n是a n的控制数列,求(b1aj(b2a2)... (b j00 a100)（2012 理）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分r r 对于数集X 1,x1,x2,...,x n，其中0 X1 X2 ... x n，n 2，定义向量集Y a a （s,t）,s X,t X ，ir uu ir m若对任意a1Y，存在a2Y，使得Q& 0，则称X具有性质P，例如1,1,2具有性质P（1）若x 2，且1,1,2, x具有性质P，求x的值（3）若X具有性质P，且为1、x2 q （q为常数），求有穷数列x1, x2,..., x n的通项公式（2）若X具有性质P，求证：1 X，且当冷1时，为1（3）若X具有性质P，且为1、x2 q （q为常数），求有穷数列x1, x2,..., x n的通项公式（2012 春）23. （本题满分18 分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.（2011 文）23、（18分）已知数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式分别为a n 3n 6 , b n 2n 7 （n N*）,将集合｛x|x a n,n N*｝U｛x|x b n,n N*｝中的元素从小到大依次排列，构成数列c1,c2,c3,L ,c n,L 。
⑴ 求三个最小的数，使它们既是数列｛a n｝中的项，又是数列｛b n｝中的项；⑵C1,C2,C3丄,C40中有多少项不是数列｛b n｝中的项？说明理由；⑶求数列｛c n｝的前4n项和S4n（n N ）。
（2011 理）22、（18分）已知数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式分别为a n 3n 6，b n 2n 7（n N*），将集合｛x|x a n,n N*｝U｛x|x b n,n N*｝中的元素从小到大依次排列，构成数列C1,C2,C3,L ,C n,L 。
⑴ 求C1,C2,C3,C4；⑵求证：在数列｛C n｝中、但不在数列｛b n｝中的项恰为a2,a4,L ,a2n,L ；⑶ 求数列｛C n｝的通项公式。
（2011 理）23、（18分）已知平面上的线段丨及点P，在丨上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段丨的距离, 记作d（P,l）。
⑴求点P（1,1）到线段l: x y 3 0（3 x 5）的距离d（P,l）；⑵设丨是长为2的线段，求点集D ｛P|d（P,l）1｝所表示图形的面积；A, B,C,D 是下列三组点中的一组。
对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① A(1,3),B(1,0),C( 1,3), D( 1,0)。
② A(1,3),B(1,0),C( 1,3), D( 1, 2)。
③ A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0)。
(2011 春)21. (本题满分14分)本题公园小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。
已知抛物线F:x 2 4y(ABC 的三个顶点在抛物线 F 上，记△ ABC 的三边AB BC CA 所在的直线的斜率分别为k AB ,k BC ,k CA ，若A 的坐标在原点，求k AB k BC k CA 的值； (2) 请你给出一个以 P(2,1)为顶点、其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由。
说明：第(2)小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。
(2010 文)22 .(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.若实数x 、y 、m 满足x m y m ，则称x 比y 接近m . (1) 若x 21比3接近0，求x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 2b ab 2比a 3 b 3接近2ab ・.ab ；⑶写出到两条线段丨1,丨2距离相等的点的集合{P|d(P, I 1) d(P,l 2)}，其中丨1 AB, 12 CD ，2分，②6分，③8分；若选择(3)已知函数f (x)的定义域D x x k ,k Z,x R .任取x D , f (x)等于1 sinx和1 sinx中接近0的那个值•写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).为CD 的中点;uurPQ ?令a 10 , b 5，点P 的坐标是(-8 , -1 ),若椭圆(2010 理)22 .(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。
若实数x 、y 、m 满足x m y m ，则称x 比y 远离m .2(1)若x 1比1远离0，求x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数 a 、b ，证明：a 3 b 3比a 2b ab 2远离2ab 、、ab ；(3)已知函数f(x)的定义域DXX,k Z, x R •任取 x D , f (x)等于 sinx 和 cosx 中 4远离0的那个值•写出函数f (x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)(2010 文)23 (本题满分 18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8 分.已知椭圆的方程为工a(1)若点uuurM 满足AM1 uuu -(AQ2(2)设直线 |1 : y k 1x p 交椭圆 b 0) , A(0,b)、B(0, b)和 Q(a,0)为 的三个顶点.于C 、D 两点，交直线12 :y k 2X 于点E •若k 1k 2b 2飞，证明：Ea(3) 设点P 在椭圆内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ,使得I 与椭圆的两个交点R 、F 2 uur uuu 满足PR PF 2 上的点R 、F 2满足2urnAB)，求点M 的坐标;urn uuu uunPR PF2 PQ，求点P、P2的坐标.(2010 理)23 (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知椭圆2的方程为笃a21(a bb20)，点P的坐标为( a,b).uuur 1 uir uir (PAPB),(1)若直角坐标平面上的点M、A(0,b), B(a,0)满足PM求点M的坐标；2(2) 设直线h ： y k i x p交椭圆于C、D两点，交直线12: y k?x于点E.若& k? —2 ,a证明：E为CD的中点；(3) 对于椭圆上的点Q(acos ,bsin )(0 )，如果椭圆上存在不同的两个交点P、P2满足urn uuu urnPP PP， PQ，写出求作点P、P，的步骤，并求出使P、P＞存在的的取值范围.(2010 春)23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
已知首项为X i的数列｛X n｝满足X n 1 -aX^ ( a为常数)。
X n 1(1)若对于任意的X1 1，有X n 2 X n对于任意的n N都成立，求a的值；(2)当a 1时，若X1 0，数列｛X n｝是递增数列还是递减数列？请说明理由；(3)当a确定后，数列｛ X n｝由其首项X1确定，当a 2时，通过对数列｛X n｝的探究，写出"｛ X n｝是有穷数列”的一个真命题(不必证明)。
说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。
2009 理）22. (本题满分16 分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分6分。
1已知函数y f(x)的反函数。
定义：若对给定的实数a(a 0)，函数y f(x a)与y f (x a)互为反函数，则称y f (x)满足“ a和性质”；若函数y f (ax)与y f 1 (ax)互为反函数，则称y f (x)满足“ a 积性质”。
(1)判断函数g(x) x2 1(x 0)是否满足“ 1 和性质”，并说明理由；(2)求所有满足“ 2 和性质”的一次函数；(3) 设函数y f(x)(x 0)对任何a 0，满足“ a积性质”。
求y f(x)的表达式。
( 2009 文)23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知a n是公差为d的等差数列，b n是公比为q的等比数列(1)若a n 3n 1，是否存在m,n N*，有a m a m 1 a k ？请说明理由；(2)若b n aq n( a、q为常数，且aq 0)对任意m存在k，有b m b m 1 b k，试求a、q满足的充要条件；(3)若a n 2n 1,b n 3n试确定所有的p,使数列 0中存在某个连续p项的和式数列中a.的一项，请证明.( 2009 理)23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2 小题满分5分，第3小题满分8分。
已知a n是公差为d的等差数列，b n是公比为q的等比数列。
( 1) 若a n 3n 1 ，是否存在m、k N*，有a m a m 1 a k ?说明理由；（2） 找出所有数列* a “ 1a n 和b n ，使对一切nN ,— b n ,并说明理由；a n(3)若 a 15,d 4,b 1 q 3,试确定所有的 p ，使数列 a n 中存在某个连续 p 项的和是数列b n 中的一项，请证明。
（2008 文）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知数列｛a *｝ : 3 1, a 2 2 , a 3r , a n3 a n2（ n 是正整数），与数列｛g ｝ : b i 1,6 0, b 3 1 ,b 4 0，b n 4 b n （ n 是正整数）.记 T n 0*1b 2 *2匕3玄3 L b n a *（1） 若 a-i a 2 a 3 La 12 64，求 r 的值；（2） 求证：当n 是正整数时，T 2n 4n ；（3） 已知r 0，且存在正整数 m ，使得在T 12m 1, T 12m 2，…，T 12m 12中有4项为100.求r 的值，并指出哪4 项为100.(2008 理)已知a 1为首项的数列｛a n ｝满足：a n 1 a n 7,a n3,d1,d 3时，试用a 1表示数列｛a n ｝前100项的和Si00 ；1（m 是正整数），c ，正整数d 3m 时，求证：数列 m1 1m 2 , a 9m 2 成等比数列当且仅当 d 3m 。