若 ⸳是
的必要不充分条件，则 ⸳，
此时 ሺ ݊ ‫ݔ‬．
当ሻ
即
时解集
，
若 ⸳是
的必要不充分条件，则 ⸳ 成立．
当ሻ 쳌
，即 쳌 时解集 ሺሻ ݊ ‫ݔ‬，
若 ⸳是
的必要不充分条件，则 ⸳ 成立，
ሻ
此时
ሻ ݊ ‫ݔ‬．
综上
：
ሻ ݊ ‫ݔ‬．
14
22．解：ሺ ‫ݔ‬不等式 ሺ ‫ ݔ‬ሻ ݉
댳 댳 ሻ ݉，即 ݉ ݉ 댳
8
21．(12 分) 已知命题 p : x0 [1,1], x02 x0 m 0 是假命题． (1)求实数 m 的取值集合 B ； (2)设不等式 (x 3a)(x a 2) 0 的解集为 A .若 x B 是 x A的必要不充分条件， 求实数 a 的取值范围．
9
22．(12 分)
16．若不等式 3 x2 2ax a 2 有唯一解，则实数 a 的值为________________．
三、解答题（共 6 题，共 70 分）
17．(10 分) 设全集为 R, A x x2 4x 3 0 , B x x2 a 0 (a 0) ．
(1)当 a 4 时，求 A B, A B ；
即a
1,b 3
8 3
时取等．
所以当
a
1 3
,
b
8 3
时
a
1
1
4 b
取得最小值
9 4
．
13
20．解：ሺ ‫ݔ‬设 ܳ ሺ
‫ݔ‬，则 ܳ
，
ܳ
ܳ，
，
ሻ ሺ ‫ݔ‬，
ሻ
则
ܳ
ͷሺ
‫ݔ‬
ͷሺ
‫ݔ‬
，当Βιβλιοθήκη 仅当 ሺ‫ݔ‬ሻ݉时取等号，所以当 DQ 的长为 20 时，S 最小，且为 1200． ，结合ሺ ‫ݔ‬中 S 的表达式列出不等式，化简得
A．
2
3
B．
2
2
C． 5 2
D． 7 2
8．设 c 0 ， f x 是区间[a,b] 上的减函数，下列命题中正．确．的是( )
A． f x c 在[a,b]上有最小值 f a c
B． f x 在[a,b] 上有最小值 f a
C． f x c 在[a,b] 上有最小值 f a c
D． cf x 在[a,b]上有最小值 cf a
(
3 4
,
)
二、填空题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
4
13．函数 y 3x 1 1 的定义域是________________． 1 x
14．已知函数
f
1 1
x x
x
，则
f
(3)
的值为________________．
15．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张 240 元，使用规定：不记名，每卡每次只限 1 人，每天只限 1 次．某班有 48 名学生，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购 买若干张游泳卡外，每次还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的车费均为 40 元．若使每个同学游 8 次，则购买________________张游泳卡最合算．
，
쳌
或
ሻ
，又
综上，DQ 的取值范围是 ݊ ．
21．解：ሺⅠ‫ݔ‬命题：“
ȁ݉
，都有不等式 ݉ ݉ ݉ 쳌 成立”是真
命题，得 ݉ ݉ ݉ 쳌 在݉
恒成立，
݉ ሻ ሺ ݉ ‫ ݉ݔ‬得 ݉ ሻ ，即 ⸳ ݉ȁ݉ ሻ ； ሺⅡ‫ݔ‬不等式ሺ ݉ ሻ ‫ݔ‬ሺ ݉ ݉ ‫ ݔ‬쳌 ，
当ሻ ሻ
，即 ሻ 时，解集 ሺ ݊ሻ ‫ݔ‬，
，
15
C．k | k 4或k 3
D．k | 4 k 3
6．下列各式：① a2 1 2a ；②
x 1 x
2 ；③ m n mn
2 ；④ x2
x
1 2
1
1
.
其中正．确．的个数是( ) A．0
B．1
C．2
D．3
7．已知函数
f
x
x 1 x 3
(x (x
1) 1)
，则
f
f
5 2
(
)
1
已知函数
f
(x)
2kx x2 6k
(k
0) ．
(1)若 f (x) m 的解集为 x x 3或x 2 ，求不等式 5mx2 kx 3 0 的解集；
(2)若存在 x 3 ，使得 f (x) 1 成立，求 k 的取值范围．
10
重庆八中高 2023 级国庆假期数学作业(一)答案
一、选择题
댳 쳌 ，即ሺ ݉ ‫ ݔ‬ሻ ．
存在 ሻ ሻ，使得 ሺ ‫ ݔ‬ሻ 成立，即存在 ሻ ሻ，使得 댳 ሻ 成立．
݉
令 ሺ‫ݔ‬ 令݉
， ሺሻ݊
݉
‫ݔ‬，则 댳 ሻ ሺ ‫݉ݔ‬쳌 ．
쳌，则 쳌 ሺ ݊
‫ݔ‬，
ሺ쳌 ‫ݔ‬
쳌
ሻ
쳌
쳌
当且仅当쳌 쳌即 쳌
时等号成立．
所以
min
，
故댳 ሺ ݊ ‫ݔ‬
쳌 쳌
ሻ
1 4 的最小值． a 1 b
6
7
20．(12 分) 学校里两条相互垂直的道路 AM , AN 旁有一矩形花园 ABCD ，现欲将 其扩建成一个更大的三角形花园 APQ ，要求点 B, P 在 AM 上，点 D, Q 在 AN 上， 且 PQ 过点 C ，其中 AM AN 100, AB 30, AD 20 ，如图，记三角形花园 APQ 的面积为 S ． (1)设 DQ x(x 0) ，建立三角形花园 APQ 的面积 S 关于 x 的表达式及 S 的最小值； (2)要使三角形花园 APQ 的面积不小于 1600，请问 DQ 的长应该在什么范围内?
A． 3 5
C．
B． 2 5 D． 5
11．【多选题】下列说法中正．确．的有( )
3
A．命题“ x R, x3 x2 1 ”的否定是“ x R, x3 x2 1 ”
B．若不等式 ax2 bx 1 0 的解集为x | 1 x 3 ，则不等式 3ax2 6bx 5 0
的解集为 (, 1) (5, )
x1
x2
a x1x2
的最大值是(
)
A． 6 3
B． 2 3 3
C． 4 3 3
D． 4 3 3
5．设集合 A x | x2 x 6 0 ， B x | (x k)(x k 2) 0 ，若 A B ，
则实数 k 的取值范围是( )
A．k | k 2或k 1
B．k | 2 k 1
1
2
D
C
7
8
B
D
二、填空题
3
4
5
6
C
D
A
C
9(多选) 10(多选) 11(多选) 12(多选)
AD
AC
BCD
ACD
13
14
15
16
[1 ,1) (1, )
1
3
2
8
2或 1
12. 对 于 A ， ሺ ‫ݔ‬
݉ ሺ݉݊ ‫ ݔ‬， 不 等 式 쳌 ሺ ‫ ݔ‬的 解 集 为
11
，即 ሺ݉ ݉ ‫ݔ‬
若 ሺ ‫ݔ‬쳌 ሺ
‫ݔ‬，则
或 ሻ ，解得݉ ሻ 쳌 ሻ
或 ሻ ， 的取值范
围是
，故 D 正确．
故选 ACD．
16.若不等式－3≤x2－2ax＋a≤－2 有唯一解，则方程 x2－2ax＋a＝－2 有两个相等的实 根，解得 a= 2或 1
三、解答题
17．解：由已知条件可得：
ሻ ݊⸳
݉ 쳌쳌 ，
ሺ ‫ݔ‬当
(2)若 B ðR A ，求实数 a 的取值范围．
5
18．(12 分) 已知关于 x 的不等式 ax2 4x 3 0 的解集为 x 1 x b ．
(1)求 a, b 的值；
(2)解关于
x
的不等式
bx a x2
1．
19．(12 分) 已知函数 f (x) 2x 3 ． (1)解不等式 f (x) x2 ； (2) 设 函 数 g(x) x f (x) 的 最 大 值 为 m ， 设 正 实 数 a,b 满 足 a b 2m ， 求
C． x R, ax2 4x 2x2 1 恒成立，则实数 a 的取值范围是[6, )
D．已知 p : 1 x 3, q : x2 (a 1 )x 1 0(a 0) ，若 p 是 q 的充分不必要条件，
2
a
则实数 a 的取值范围是 (0, 1] [3, ) 3
12．【多选题】已知函数 f (x) x2 mx n(m, n R) ，不等式 x f ( x) 的解集为 (,1) (1, ) ，则( )
，当
x
3 2
时函数
g(x)
单调递减，当
x
3 2
时函
数
g(x)
单调递增，所以 m
g (x)max
g( 3) 2
3 2
，ab
2m
3,
a
1 1
4 b
=
1 a 1
4 b
(a
1
b)
4
1 4
1
4
b a 1
4(a 1) b
1 4
5
2
b a 1
4(a 1) b
9 4
，当且仅当
b a 1
4(a 1) b
B．4
C．7
D．8
3．一元二次方程 ax2 5x 4 0a 0 有一个正根和一个负根的一个充分不必要
条件是( )
A． a 0