1．如图所示的扭转摆，弹簧杆的刚度系数为K，圆盘的转动惯量为J，试求系统的固有圆频率。(15分)
图1
解：如图建立坐标系
设定坐标轴Z与摆线重合，初始时在重力作用下平衡，给圆盘一个相对于Z轴的微小扭转角Ф,使之做自由扭转震动,该系统的扭转振动的微分方程为:
将上式化简后得：
系统的固有频率：
2．系统如图所示，其滑轮质量为M。忽略绳的弹性和M的转动（只考虑M的上下振动），试利用能量法确定系统的固有频率。(15分)
方法二:利用能量法确定系统的振动微分方程
以系统平衡时重物的位置为原点,设小车偏离平衡位置x，滑轮偏转
系统的动能
系统的势能
由于d(U+T)/dt=0
所以可得：
整理方程组可得系统振动微分方程：
5.如图5所示的单摆，其质量为m，摆杆是无质量的刚性杆，长为l。它在粘性阻尼系数为r的液体中摆动，悬挂点O的运动为 。试写出单摆微幅摆动的微分方程式。（15分）
图5
根据动力学方程可得:
整理可得动力学方程
6.如图6所示的提升机，通过刚度系数 的钢丝绳和天轮（定滑轮）提升货载。货载重量 ，以 的速度等速下降。求提升机突然制动时的钢丝绳最大张力。（15分）
解：物体等速度下降时，弹簧的变形为
以平衡点为原点建立x坐标，建立其微分方程是
代入化简后可得
系统的固有频率
当重物突然停止时刻，取时间t=0，作为振动的起点。则运动的初始条件为：
图2
解：如图建立坐标系：
方法一：通过微分方程求出固有频率
物体平衡时，弹簧变形为：
以物体平衡位置为原点，建立图示X坐标系，物块分力如图所示，其运动微分方程：
对于m固有频率：
方法二：利用能量法确定系统的固有频率
以系统平衡时重物的位置为原点。
系统的动能
系统的势能
由于d(U+T)/dt=0
两边积分有
上式中，左端第一项表示质量m的瞬时动能，左端第二项表示弹簧相对静平衡位置的瞬时位能，方程的右边表示系统的总能量，方程表示能量守恒
设弹簧ξ段的动能为：
整根弹簧的动能
因为 ，
所以
当t=0时，瞬时速度为最大
初位移
初始速度
代入公式可得起振幅及初相位
则物体的运动方程
其最大张力 =294 186N
7.质量弹簧系统如图所示，其质量 的振动方程为 ( )。弹簧单位长度质量为 、长度 ，振动圆频率 ，最大振幅 。试推导出弹簧的最大动能公式并根据以上数值求出 。（15分）
图7
解:单自由度系统的自由振动方程为
在上诉方程的两边x'(t)得
所以可得：
其中
可得系统的固有频率：
或可表示为：
设系统运动方程为
若以平衡位置为势能零点，则系统势能
系统的动能
由于机械能守恒定律，即T+U=常数，则
得
可得系统的固有频率：
3.某振动系统如图3所示，试用拉个朗日法写出系统的动能、势能和能量散失函数。（10分）
图3
系统有两个质量块，设各质量块的位移x1(t),x2(t)为广义坐标，并设x1(t)>x2(t)，系统地动能为
系统的势能
4.图4所示的系统，物体质量为 ，滑轮质量为 ，半径为 ，试求系统的振动微分方程。（15分）
图4
以平衡位置为坐标原点，设小车偏离平衡位置x，弹簧K1对小车力为FK1，弹簧K2
对滑轮力为FK2，小车对滑轮的力为F12，滑轮对小车的反作用力为F21
对于小车可列微分方程
对于滑块可列微分方程
其中
整理方程组可得系统振动微分方程：