线素场实例
2010-2011第一学期
经济和金融中的动态方法*
线素场
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线素场
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线素场与方程解的关系
• 定理：曲线L为微分方程的积分曲线的充 要条件是：在L上任一点，L的切线方向 与微分方程所确定的线素场在该点的线 素方向重合；亦即L在每点均与线素场的 线素相切
quiv2e0r10(-x20,1y1,第D一x学,D期y)
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自治一阶微分方程
在一个微分方程中，果如其自变量没有显式在的方程函数中出现， 则此方程成为自治的如，果x为自变量，则自治一微阶分方程可以 记为F(y, y),或者写成标准形d式y f (y)
dx 临界点 如果存在一个实c数 使得f为0，那么我们称 c为方程的临界点， 也成为均衡点或稳定点 方程的常数解 y c称为均衡解
(1)在D上满足存在与唯一性定理条件；
(2)在D上有不等式f (x, y) ()F(x, y),
则方程dy f (x, y)的满足初始条件(x ) y 的解(x)和方程
dx
0
0
dy F(x, y)的满足初始条件(x ) y 的解(x)在他们共
dx
0
0
同存在的区间上,满足不等式
(x) ()(x),当x x 时 0
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数据
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数据
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线素场
dy 1 xy dx
[x,y]=meshgrid(-2:0.2:2)
Dx=0.1*ones(21)
I=ones(21)
Dy=(I-x.*y).*Dx
x(t h) x(t) hf (t, x)
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注：不满L足ipschi条 tz 件一般不能保Pi证 car序 d 列的收敛性
且关于y满足局部李普希兹， 条则 件对于 D
上任意一(点x , y ),方程的以 (x , y )为初值的
00
00
解(x)均可以向左右延展到 ，(x直,(x))任
意接近区D域的边界。
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比较定理的应用
定理：设函数f (x, y),F(x, y)定义在某个区域D上，且满足如下条件：
反例d：y f (x, y),y(0) 0,其中 dx
0,
x 0, y ;
f
(x,
y)
2x, 2x
y
/
x,
0 x 1, y 0; 0 x 1,0 y x2;
2x, 0 x 1, x2 y
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解的延展
如果方程的右端函 f (x数 , y)在区域D上连续，
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• 定义：关系式f (x , y)=k确定一条曲线 L (k).显然，微分方程的线素场在曲线 L (k)上各点的斜率都等于k,称这种曲 线 L (k)为线素场的等斜线(或等倾线)
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线素场的应用
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(x) ()(x),当x x 时 0
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比较定理的应用
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常微分方程的几何解释
线素场 设方程dy f (x, y)的右端函f数(x, y)在区域G内有定义，
自治一阶微分方程
• 临界点C的三种类型
– 如果从足够靠近临界点出发的解都随着x趋 于无穷大时趋于C，则称C点是渐进稳定的， 也称为吸引子
– 如果所有始于C附近的解都会随着x的增大而 远离C点，则称C点是不稳定的，也称为排 斥子
– 如果即表现出吸引子的性质也表现出排斥子 的性质，则称为是半稳定的。
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第二章基本定理
解的存在唯一性定理
• 历史
–
– 十九世纪二十年代 柯西 – 1876年 李卜希兹 – 1893年 毕卡
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dx 即对G内任意一(点x, y)，都存在确定f (值x, y),以点(x, y)为 中点，作一单位线使 段其 ，斜率恰k为 f (x, y),称为在点 (x, y)的线素。于是G在 内每一点都有一个， 线我 素们说， 方程在区G域上确定了一个线素场。
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微分方程的近似解
考察初值问题xx(t0 )
f (t, x) x
0
泰勒级数方法：
假定f的各种偏导数存在，方此法的要点是关于 x的泰勒级数，
x(t h) x(t) hx(t) h2 x(t) h3 x(t) h4 x(4) (t)
2!
3!
4!
n 1时的泰勒级数方法称欧为拉方法，它具有形式
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自治一阶微分方程
考虑微分方程
dy y(a by ), a 0,b 0 dx
区间 f ( y)的符号 y(t)
( ,0)
负
递减
(0,a / b)
正
递减
(a / b, )
负
递减
箭头 指向下 指向上 指向下
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线素场的应用
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线素场的应用
[x,y]=meshgrid(-1:0.1:1) Dx=0.02*ones(21) Dy=(x.^2+y.^2).*Dx quiver(x,y,Dx,Dy)