第七章 第六节空间向量及其运算［理］
课下练兵场
、选择题
1 .△ ABC 的顶点分别为 A(1, - 1,2), B(5,— 6,2), C(1,3 , - 1)，则 AC 边上的高
BD 等于
B. 41
=入AC ，又 AC = (0,4,- 3). 则 AD = (0,4 人-3”.
AB = (4, - 5,0), BD = (-4,4入 + 5,- 3”,
由 AC -BD = 0,
4
9 12
得 ”=-”，「• BD = (- 4, 5, ―), - |BD |= 5. 答案：A
2.在正方体 ABCD - A i B i C i D i 中，给出以下向量表达式:
①(AD p - A , A )- AB ； ②(BC BB , )- D 1C 1 ; T T —I
AD - AB )-2 DD 1 ；
④(B 1D 1 + A 1A )+ DD 1 . 其中能够化简为向量 BD ,的是
解析：设AD 5'
B .②③ 解
析：①
（AQ —AX —AB
A .①②
二 AD,-
C .③④
AB = BD^ ；
D .①④
x = 2 y =i
T T T T
解析：如图，AE 二 AA • AE 二 AA
1 1 + 2A
C i 二 AA + 2( AB A
D ).
答案：C
5.正方体ABCD — A i B i C i D i 中，EF 是异面直线 AC 与A i D 的公垂线，则
的角是
答案：D
i
6.已知空间四边形 ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，贝U AB +牙（BD = BC ）等
A . 90 °
B . 60°
解析：可求得BD // EF ，即BD i // EF.
C . 30 °
D . 0°
-T T T T
② BC BBJ 一 DQ 二 BE 一 DC = BD 4 ；
-T T —I T T T
③ (AD — AB) —2DD 4 = BD —2DD 4 = BD 4 ；
④
(B 4D 4 A I A) DD 4DD 4
=
综上①②符合题意. 答案：A
3.在四面体 O — ABC 中，OA = a , OB = b , OC = c , D 为BC 的中点，E 为AD 的中 点，则
O E 可表示为（用a , b 、c 表示）.
1 1 1 1 1 1
A.qa + &b + 4c
B.^a + 3b —
QC
解析： O?=OA 1忒 OA
2
1
=OA x (OB -OA
4
i i i
c.ga +4b + 4c
i i i
D.§a - 4b + 4c
i i
孑 2( AB AC )
1
i
i =
1OA + ;OB + 4
1 1 1 1
4OC = 2a +4b +4c
答案：A
4.已知正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，点E 为上底面A i C i 的中心，若
AB - xyAD ，则x 、y 的值分别为
A . x = i , y = i
i
x = i , y = 2
C . x = 2, EF 与B
D i 所成
C A.BD
5
答案：A 二、填空题
b (d — c)+ d (
c — b)— c(
d — b) = 0. 答案:
又 D(1,1,1), A |PD | =于. 答案：于
2
解析：建系可求得 cos B =—
B . CG
解析：如图所示:
2(BD BC )=認
D.1 BC T T T
AB + BG = AG
7.在空间四边形 ABCD 中， =b , AC
BD = d — b, 解析：设AB 则 CD = d — c ，
=c , AD = d ,
BC AD CA BD =
BC = c — b.
8.已知点 A(1,2,1), B(— 1,3,4), D(1,1,1)，若 设 P(x , y , z), A AP = (x — 1, AP = 2PB ，则品的值是 解析： PB = (— 1 — x,3— y,4— z) AP = 2PB 得点P 坐标为(—1,
y — 2, z — 1). 3),
原式= 9. （2019平顶山模拟）如图，在棱长为 A i B i 和BB 1的中点，那么直线
的正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，M 、 N 分别是
AM 和CN 所成角的余弦值为
答案：2
5
三、解答题
10 .已知长方体ABCD —A i B i C i D i 中，AB = AA i= 2, AD = 4, E 为侧面
解：如图，设AB = a,
T T
AD = b, AA j = c,
则|a|=|c|= 2, |b|= 4,
a b=
b c=
c a= 0.
(1) BC •ED i
i
=b [2(c—a) + b]
=|b|2= 42= i6;
i i i
(2) EF • FC i = [2(c—a)+ 2b](?b+ a)
i i
=2(—a+ b+ c) gb+ a)
i 2 i 2 =—2|a| + 4|b|
=2.
ii .在平行四边形ABCD中，AB = AC= i，/ ACD = 90 °将它沿对角线
AB和CD成60。

角（见下图）.求B、D间的距离.
同理BA AC = 0.
CD =0.
AB
i
的中心，
F
AC折起，使为A i D i的中点.试计算:
'■______ 厂 _______ 曲
•/ AB 和 CD 成 60° 角，•〈 BA CD > = 60°或 120° •/ BD H BA CD ,
• BD 2 二誰 AC^ C D ^2BA CD^ 2AC CD =B A ^ AC^ C D ^2AB CD 4
=3+ 2x 1X 1 x cos 〈 BA,CD >
4( BA, C^ - 60), 2( BA,CD =120).
• |BD |= 2或2,即卩B 、D 间的距离为2或2.
12 .直三棱柱 ABC — A ' B ' C '中，AC = BC = AA ',/ ACB = 90 ° D 、E 分别为 AB 、 BB '的中点.
••• CE 丄 A "D ，即 CE 丄 A ' D.
⑵ A 'C =— a + c , A |A 'C |= ,2|a|, |CE
1 1
2 1 2
A C ・CE = (— a + c) (b + 26= ?c = 2同，
1|a|2
10
• cos 〈 A'C , CE >= 一2
=亠10.
j 5 2
10
2 -2 |a|
即异面直线CE 与AC '所成角的余弦值为 计°.
(1)求证：CE 丄 A ' D ; (2)求异面直线CE 与AC '所成角的余弦值. 解：(1)证明：设CA = a , CB = b ， ,CC = c , 根据题意，|a|= |b| = |c|且 a b = b c = c a = 0, • CE = b + *c ,
• CE -A!)=
1 1 A '
D =— c + ^b —尹 2c2+2b2=0.
l = j|a|.。