3 A、袋中装有大小和质地都相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为 5 ，不符合
题意；
1 B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为 2 ，不符合题意；
1 C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为 4 ，不符合题意；
1 D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是 7 或超过 9 的概率为 3 ，符合
必考点 2 用频率估计概率
（1）事件的频数、频率。设总共做 n 次重复实验，而事件 A 发生了 m 次，则称事件 A 发生的次数 m 为频
数。称比值 m/n 为 A 发生的频率。
n
（3）概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 会稳定在某个常数 p 附近，那么这个
m
常数 p 就叫做事件 A 的概率。
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件； 故选：B．
【点睛】 此题主要考查事件发生的概率，解题的关键是熟知必然事件的定义.
3．（2019·四川中考真题）小强同学从 1， 0 ，1， 2 ， 3 ， 4 这六个数中任选一个数，满足不等式
x 1 2 的概率是（）
1 A． 5
1 B． 4
1 C． 3
A．掷一次骰子，向上一面的点数是 6 B．13 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】B
【解析】 解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是 6，属于随机事件；
B.13 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件； C．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；
【典例 3】（2019·辽宁中考真题）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出 一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）
2 A． 3
1 B． 2
1 C． 3
【答案】D
【解析】
解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
第一次 第二次
1 D． 4
红球 开始 绿球
题意，
故选 D． 【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数
与总情况数之比．
2．（2019·广东初三期末）一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的 2 个白球和 n 个黑球．随机地从
袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在 0．2 附近，
1．（2019·湖北初三期末）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
A．确定事件 【答案】D
B．必然事件
C．不可能事件
D．不确定事件
【解析】
“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件， 故选 D．
考点：随机事件． 2．（2019·山东中考真题）下列事件中，是必然事件的是（ ）
3．（2019·辽宁初三期末）一个不透明的袋子中装有 20 个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同， 若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率
逐渐稳定于 0．4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50 【答案】B
B．30
C．12
D．8
【解析】
则 n 的值为（ ）
A．2 【答案】C
B．4
C．8
D．10
【解析】
2 解：依题意有： 2 n =0.2，
解得：n=8． 故选：C．
【点睛】 此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，
m 其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= n 是解题关键．
A．袋中装有大小和质地都相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中随机取一个，取到红球 B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数 C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是 7 或超过 9 【答案】D 【解析】 解: 根据统计图可知，试验结果在 0.33 附近波动，即其概率 P≈0.33，
A．水中捞月
B．拔苗助长
C．守株待兔
D．瓮中捉鳖
【答案】D
【解析】
解： A 选项，不可能事件；
B 选项，不可能事件；
C 选项，随机事件；
D 选项，必然事件；
故选：D
【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义是本题
的关键
【举一反三】 1．（2019·湖北中考真题）下列说法错误的是（ ） A．必然事件发生的概率是 1 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C．概率很小的事件不可能发生 D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得 【答案】C 【解析】
A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大 D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式 【答案】C 【解析】 A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，正确，故选项 A 不合题意； B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，正确，故选项 B 不合题意； C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小．故选项 C 符合题意； D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，正确，故选项 D 不合题意， 故选 C． 【点睛】 本题考查了随机事件，众数，方差，调查的方式等，熟练掌握相关的概念以及意义是解题的关键.
解：设白球个数为 x 个， 根据题意得，白球数量 袋中球的总数=1-04=0.6，
x 0.6
所以 x 20
，
解得 x 30
故选 B
【点睛】 本题主要考查了用评率估计概率.
必考点 3 树状图与列表法求解概率 列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果， 通常采用列表法．其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标． 树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能 的结果，通常采用树状图法求概率．
其正面的数字作为 b 的值，则点（a，b）在第二象限的概率为
13 A． 25
12 B． 25
4 C． 25
1 D． 2
【答案】A 【解析】 解：画树状图如图： 共有 25 个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有 13 个，
13 ∴小李获胜的概率为 25 ；
故选 A．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．
【分析】 不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于 0 并且小于 1 【详解】 A、必然事件发生的概率是 1，正确； B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确； C、概率很小的事件也有可能发生，故错误； D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确， 故选：C． 【点睛】 本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围： 0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率 P(A)＝1；不可能发生事件的概率 P(A)＝0；随机事件，发生的概率 大于 0 并且小于 1.事件发生的可能性越大，概率越接近与 1，事件发生的可能性越小，概率越接近于 0. 2．（2011·四川中考真题）下列说法正确的是（ ） A．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上。 B．从 1，2，3，4，5 中随机取一个数，取得奇数的可能性较大。
专题 15 概率初步
必考点 1 确定事件和随机事件。
（1）“必然事件”是指事先可以肯定一定会发生的事件。P（A）=1
（2）“不可能事件”是指事先可以肯定一定不会发生的事件。P（A）=0
（3）“不确定事件”或“随机事件”是指结果的发生与否具有随机性的事件。
０பைடு நூலகம்P（A）＜１
【典例 1】（2008·吉林中考真题）下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ）
x 的一元二次方程 ax2 4x c 0 有实数解的概率为（ ）
1 A． 4
1 B． 3
1 C． 2
2 D． 3
【答案】C 【解析】 由题意，△=42-4ac≥0， ∴ac≤4， 画树状图如下：
a、c 的积共有 12 种等可能的结果，其中积不大于 4 的有 6 种结果数， 61 =
所以 a、c 的积不大于 4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为 12 2 ， 故选 C. 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到 ac≤4 是解题的关键.
【典例 2】（2019·江苏中考真题）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244
若抛掷硬币的次数为 1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．20
B．300
C．500
D．800
【答案】C
【解析】
观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到 0.5 附近，
红球 绿球 红球 绿球
1 ∴ P 两次都是红球 4 ．
故选：D．
【点睛】
考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数
表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
【举一反三】 （2019·广西中考真题）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之 和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）