注意
有相同特征多项式的矩阵未必相似.
1 0 ,B 1 1 A 如 0 1 0 1

2 ( 1) 它们的特征多项式都是 ，但A、B不相似.
3、哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理
nn A P , f ( ) E A 为A的特征多项式, 则 设
则矩阵 B A3 2 A2 的特征值为： 行列式 B ＝ . ，
16
三、可对角化的概念
定义1
设 维n 线性空间V的一个线性变换，如 果存在V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对角矩 阵，则称线性变换 可对角化（diagonalization）.
定义2 矩阵A是数域 P上的一个 n级方阵. 如果
f ( A) An (a11 a22 ann ) An1 ( 1)n A E 0.
13
4、设 为有限维线性空间V的线性变换，f ( ) 是
的特征多项式，则 f ( ) 0.
14
练习1 已知 A P
1.
nn
, 为A的一个特征值，则
(Ⅰ ) (Ⅱ )
1 ,2 ,,n
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡
矩阵矩阵是X，则
B X 1 AX .
相似矩阵有相同的特征值。
4
1、求特征值与特征向量的一般步骤
（1） 在V中任取一组基 1 , 2 ,, n , 写出 在这组基下 的矩阵A . （2） 求A的特征多项式 E A 在P上的全部根它们
若对于P中的一个数 0 , 存在一个V的非零向量 , 使得 ( ) 0 , 则称0 为 的一个特征值（eigenvalue），称 为 的 属于特征值 0 的特征向量（eigenvector）.
3
定理 设线性空间V的线性变换 在两组基
1, 2 ,, n
1 , 2 ,r 5、设 为n 维线性空间V的一个线性变换，
为全部不同的特征值，则 可对角化
dimVi n,
i 1 r
Vi 为 的特征子空间.
22
例2 设
4 10 0 A 1 3 0, 3 6 1
求 A 特征值、特征向量和
11
2、相似矩阵具有相同的特征多项式.
1 A ~ B B X AX 则存在可逆矩阵X，使得 证: 设
于是， E B E X 1 AX
X 1 EX X 1 AX X 1 ( E A) X X 1 E A X E A
12
1 1 3 , 2 2 3
而属于1的全部特征向量为
k11 k2 2 ,
( k1 , k2 P 不全为零 )
9
把 5 代入齐次方程组 ( E A) X 0, 得
4 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 4 x3 0
1 2 2 A 2 1 2, 2 2 1
求 特征值与特征向量.
解：A的特征多项式
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2 ( 5) 2 2 1
故 的特征值为： 1 1 （二重）, 2 5
19
例1
3 2 , A 设 0 1

求非奇异矩阵 P ，使得 P 1 AP为对角阵。
20
3、（推论1）设 为n 维线性空间V的一个线性变换，
如果 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值， 则 可对角化. 特别地，（推论2）在复数域C上的线性空间中， 如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可 对角化.
18
1、（定理 ）设 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
则 可对角化 有 n 个线性无关的特征向量.
2、（定理 ）设 为n维线性空间V的一个线性变换,
如果 1 , 2 , k 分别是 的属于互不相同的特征值
1 , 2 ,k 的特征向量，则 1 , 2 , k 线性无关.
1 X X AX为对角 存在一个 P 上的n 级可逆矩阵 ，使
矩阵，则称矩阵A可对角化.
17
定理 设线性空间V的线性变换 在两组基
1, 2 ,, n
(Ⅰ ) (Ⅱ )
1 ,2 ,,n
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡
矩阵矩阵是X，则
B X 1 AX .
则 i cij j ,
j 1 n
i 1,2,, r
6
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量. 而 k11 k22 krr , （其中， k1 , k2 ,, kr P 不全为零） 就是 的属于 0 的全部特征向量.
7
例1 设线性变换 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵是
21
4、（定理 ）设 为线性空间V的一个线性变换，
1 , 2 ,k 是 的不同特征值，而 i 1 , i 2 , iri是属于
特征值 i 的线性无关的特征向量， i 1,2,, k ,
则向量 11 , , 1r1 , , k 1 , , krk 线性无关.
异，则A的特征向量恒为B的特征向量的充要条件 是 AB BA 。
例6 设 A 是n阶方阵，E是n阶单位阵。证明：
若Am 0 ，则E-A可逆。 设 Z 是矩阵A对于特征值 0 的特征向量， 试求 P 1 AP 对应 0 的特征向量。
例7
24
A
100
.
例3
3 2 2 设 A k 1 k , 4 2 3
问当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P ，使 得 P 1 AP 为对角阵，并求 P 和相应的 对角阵。
23
例4 设 A, B 均是n阶矩阵，证明 AB 与 BA 有相
同的特征值。
例5 设 A, B 均是n阶矩阵，且A的特征值两两互
解得它的一个基础解系为： (1,1,1) 因此，属于5的一个线性无关的特征向量为
3 1 2 3
而属于5的全部特征向量为 k3 3 ,
( k3 P , k3 0 )
10
二、特征多项式的有关性质
nn A a P , 则A的特征多项式 1、 设 ij

a21 E A ... an 1
第三节 线性变换的特征值、特征向量
1
引入
有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性
变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质，
希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.
从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的
基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个 对角矩阵?
2
一、特征值与特征向量
定义 设 是数域P上线性空间V的一个线性变换，
n
a11
a12 ... a1 n a22 ... a2 n ... an 2 ... ann
n 1
(a11 a22 ann )
( 1) A
n
由多项式根与系数的关系还可得 （1） A的全体特征值的和＝ a11 a22 ann . （2） A的全体特征值的积＝ A .
;
kA ( k P ) 必有一个特征值为
2.
Am (m Z ) 必有一个特征值为
;
;
1 A 3. A可逆时， 必有一个特征值为
* A 4. A可逆时， 必有一个特征值为
.
.
5. f ( x ) P[ x ], 则 f ( A) 必有一个特征值为
15
练习2 已知3阶方阵A的特征值为：1、－1、2，
8
把 1 代入齐次方程组 ( E A) X 0, 得
2 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 2 x3 0
即 x1 x2 x3 0
它的一个基础解系为：(1,0, 1), (0,1, 1) 因此，属于 1的两个线性无关的特征向量为
就是 的全部特征值.
5
（3）把所求得的特征值逐个代入方程组
( E A) X 0
并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值
的全部线性无关的特征向量在基 1 , 2 ,, n 下的坐标.) 如果特征值 0 对应方程组的基础解系为：
(c11 , c12 ,, c1n ),(c21 , c22 ,, c2 n ),,( cr 1 , cr 2 ,, crn )