a2n x2 amn xn
都是Rn到Rm的线性映射。 y=T ( x )A x 证：利用矩阵的数乘及乘法运算， 若 y = A xy= ,2 A x , 是Rn到Rm的映射。 显然 1 1 2 有 y ＋＋ y = A x A x ＝ A x ＋ x y ＝ A x k 及 k 1 2 1 2 1 2 1 1 即T是 Rn到Rm 的线性映射。
0 . 4 9 4 1 0 . 5 5 8 00 . 6 6 6 7 1 . 0 0 0 0 0 0 l 0 p 0 . 4 7 2 0 0 . 8 1 6 1 0 . 3 3 3 3, a m d a 1 . 0 0 0 0 0 . 7 3 0 10 . 1 5 0 00 . 6 6 6 7 . 0 0 0 0 0 0 08
定义6.2 设 Vn , U m 是实数域上的向量空间， T是一个从V n 到 U m 的映射，若映射T满足
1) x , x V , 有 T ( x + x ) = T ( x ） + T ( x ) 1 2 n 1 2 1 2 2) x VR , k, 有 T ( k xT ) = k ( x ） n
1 2 m
推论 矩阵A的 m 个互不相同特征值所对应 的 m 组各自线性无关的特征向量并在一起 仍是线性无关的。
6.2.3 特征值和特征向量的MATLAB求法
MATLAB提供了计算方阵的特征值和特征 向量各步骤的函数。这三个步骤是： （1）用f=poly(A)可以计算方阵A的特征多项 式系数向量f； （2）用lamda=roots(f)可以求特征多项式f的 全部根lamda（表示为列向量）； （3）用函数p=null([lamda*I-A])直接给出基 础解p,将n个特征列向量p排在一起，就是 的特征向量矩阵。
1 Λ O
2
O n
定理6.3 n 阶方阵A可对角化的充分必要条 件A是有 n 个线性无关的特征向量。 证明： 必要性 设 n 阶方阵A可对角化，则存在可逆 1 = p , p , , p P =P Λ 矩阵 P 使P ， 从而 A A P=Λ O 即
3)A与B的迹相同 4)若A可逆，则B必可逆，且A1与B1也相似 定理6.2 设矩阵A与B相似，则它们的特征 多项式相同，从而有相同的特征值. 推论 若 n 阶方阵A与对角矩阵
, 相似，则 1, 2, n 是矩阵A的全部特征值。此时，必存在可逆 1 P P=Λ 矩阵P，使得 A ，称为把矩阵A对角 化，也称矩阵A可对角化。
可得A的全部特征值为1，2，-1。 3 3 f( A )= 2 A+ A 5 I f ( ) 2 5 的特征值为 i i i ，即-2,13,-8。
2） 1 1 A B =I+ A 解法1：先计算 ，令 ，求出特征方 程 I - B 0 的根即可。 pi 2 0 , 解法2：因为 A 所以 A 可逆， 123 为对应于A的特征值 i 的特征向量，则 又 A -1 p i 1 p i Ip = p
6.2 方阵的特征值和特征向量
6.2.1 特征值和特征向量的定义和计算
定义6.3 设 A ( a ij )是 n 阶方阵，若存在数 和 n 维非零列向量 x ，使得
A x=x
（6-1）
成立，则称数 为方阵A的特征值，称非零向 量 x 为方阵A对应于特征值 的特征向量。将 （6-1）式变形为 A I ) x 0 (或 ( ) （6-2） ( I-A ) x0
ξ k ξ k ,k 所以k 1 1 2 2( 1 2都不为
零）是A对应于特征值 1 1的全部特征向量。 对于特征值 ，解齐次线性方程组 3 8 ，得它的一个基础解系
( 8 I-A ) x0
ξ 2 ，所以 是A对应于特征 k ξ3,(k ) 1 3 3 0 2
: E ( α ) = α , α V 例6.2 向量空间V中的恒等变换 E 是线性变换。 ,β V ,k R 证明：设 α ，则有
E ( α + β ) = α + β = E ( α ) + E ( β ) , E ( k α ) = k α =E k( α )
所以恒等变换E是线性变换。
3
值8的全部特征向量。
6.2.2 方阵的特征值和特征向量的性质
性质1 n 阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特 征值。 , 性质2 设 是矩阵A的 n 个特征值， 1, 2, n 则 a a a 1) 1 2 n 1 1 2 2 n n
2) 1 2 n A a a 称a 为矩阵A的迹，记为 tr ( A ) 1 1 2 2 n n
满足这个方程的 和 x 就是我们要求的特征 值和特征向量。 （6-2）式是含个 n 方程的 n 元齐次线性方程 组，它有非零解的充要条件是
I - A 0
a 11
（6-3)
a 1n a2n a 12 a22 an2
记作
f ()
a21 an1
0
（6-4）
ann
例6.4 求矩阵 量。 解： A的特征多项式
3 A 2 4
2 0 2
4 2 3
的特征值和特征向
1 , 8 所以A的全部特征值为 1 2 3 1 , 解齐次线性方程组 对于特征值 1 2 ( I-A ) x0 ，即 4 2 4 x1 0
1 2 n
2 A p , p , , p = p , p , , p 1 2 n 1 2 n O
1
p , p , , p n n 11 2 2 n
i p p i 1 , 2 , , n 于是有 A ， 所以 是方阵 A i= i i p i 是对应于特征值 的特征向量。 的特征值， i ,p 由于矩阵P可逆，det(P)0， p1,p2,必线 n 性无关。
性质3 设 为方阵A的特征值，则 1 1 1）当A可逆时， 是 A 的特征值 A 2） 是A的伴随矩阵 a d j ( A ) 的特征值 m m ( m N ) A 3） 是 的特征值；进而有矩阵A的 m 次多项式 m m 1 f ( A ) a A a A a A a I 0 1 m 1 m
i
i i
所以
1 1 ( I + A ) p ( 1 ) p , i i
i
i 1 , 2 , 3
从而矩阵 I A 的特征值为
1
1
1
3 ，即 2 , , 0 i 2
, 定理6.1 设 为方阵A的互不相同的 1, 2, m ξ ,ξ , ,ξ 分别为对应于特征值 , 特征值， 1, 2, m 的特征向量，则 ξ1,ξ2, ,ξm线性无关。
2 1 1 x 0 2 4 2 4 0 x3
3 2 4 2 I A 2 2 ( 1 ) ( 8 ) 4 2 3
可得它的一个基础解系
1 1 ξ1 2 , ξ 2 0 , 0 1
则称T为从V n 到 U m 的线性映射，或称线性变 换。线性映射就是保持线性组合的映射。
( x )A x 例6.1 试证所有矩阵相乘的关系式 y=T a a x y a 即
1 11 12 1n 1
y2 a21 a22 ym am1 am2
称 f ( ) 为方阵A的特征多项式，方程 f () 0称 为方阵A的特征方程，特征值即为特征方程 的根。由于 f ( ) 是 的 n 次多项式，所以方 程 f () 0在复数域内有 n 个根（重根按重数 计算）。
矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤： 第一步：求特征值。先通过行列式（6-4） 的计算，写出其特征多项式 f ()，这一步的 难度是计算一个高阶的矩阵的行列式，需 要很大的计算工作量； ( ) ( )( ) ( ) 第二步：并进行因式分解 f 1 2 n , , 然后求出特征方程 f () 0 的全部根 1 2, n 这就是A的所有特征值； 第三步：把每个特征值 i 分别代入方程，求 p i ) 0 iI-Ax 齐次线性方程组( 的非零解 ，它就 是A对应于特征值 i 的一个特征向量（不是 惟一的）。
取例6.4为典型，解题的程序ea604为 A=[3,2,4;2,0,2;4,2,3]; f=poly(A), r=roots(f),r=real(r) B1= r(1)*eye(3)-A; B1=rref(B1,1e-12), p1=null(B1,‘r’) B2=r(2)*eye(3)-A; p2=null(B2,‘r’) B3=r(3)*eye(3)-A; p3=null(B3,‘r’)
第六章 线性变换和特征值
6.1 n维空间的线性变换 6.2 方阵的特征值和特征向量 6.3 相似矩阵与矩阵的对角化
6.4 实对称矩阵的对角化
6.5 二次型及其标准形 6.6 奇异值分解简介
6.7 应用实例
6.8 习题
6.1 n维空间的线性变换
定义6.1 设 X,Y 是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x ,按照一定的对应法则T，总有 Y中一个确定的元素y与之对应，则称 T 为从集合X到集合Y的映射，记为 y = T(x) 或 y = Tx ，x X 称y是X在映射T下的像，x是y 在 映射T下的源,X称为映射T的源集，像的全 体所构成的集合称为像集，记作 T X 。
程序运行的结果为： f = 1.0000 -6.0000 -15.0000 -8.0000 (特征 多项式系数向量)
r = 8.0000(三个特征根即特征值,后两个是 重根) -1.0000 + 0.0000i (微小虚数可用r=real(r） 去除) -1.0000 - 0.0000i