2）
解法1：先计算 A 1，令 B=I+A-，1 求出特征方
程 I - B 0的根即可。
解法2：因为 A12320,所以A可逆，p i
为对应于A的特征值 i 的特征向量，则
又 A -1 pi
1
i
pi
Ipi = pi
所以 (I+A -1)pi(1 1 i)pi,
i1,2,3
从而矩阵I A1的特征值为1
体所构成的集合称为像集，记作 T X 。
定义6.2 设 Vn , U m 是实数域上的向量空间， T是一个从V n 到U m 的映射，若映射T满足
1) x 1 ,x 2 V n , 有 T ( x 1 + x 2 ) = T ( x 1 ） + T ( x 2 )
2) x V n ,k R ,有 T ( k x ) = k T ( x ）
可得它的一个基础解系
1 1
ξ1
2
,
ξ
2
0
,所以k1ξ1k2ξ2(k1,k2都不为
0
1
零）是A对应于特征值1ห้องสมุดไป่ตู้ 1的全部特征向量。 对于特征值 ，解齐次线性方程组 ，得它3的 一8 个基础解系
(8I-A)x0
2 ，所以
是A对应于特征
ξ
3
1
k3ξ3,(k3 0)
值8的全 2 部 特征向量。
1
，即
i
2
,
3 2
,0
定理6.1 设 1,2,L ,m为方阵A的互不相同的 特征值，ξ1,ξ2,L ,ξm分别为对应于特征值 1,2,L ,m 的特征向量，则 ξ1,ξ2,L ,ξm线性无关。
推论 矩阵A的 m 个互不相同特征值所对应 的 m 组各自线性无关的特征向量并在一起
仍是线性无关的。
6.2.3 特征值和特征向量的MATLAB求法
惟一的）。
3 2 4
例6.4 量。
求矩阵
A
2
4
0 2
2
的特征值和特征向
3
解： A的特征多项式
3 2 4
IA 2 2 (1)2(8)
4 2 3
所以A的全部特征值为121,38
对于特征值 12 1, 解齐次线性方程组
(-I-A)x0，即
4 2 4 x1 0
2
1
1
x2
0
4 2 4 x3 0
M MMM
（6-4）
an1 an2 L ann
称 f ( ) 为方阵A的特征多项式，方程 f () 0称 为方阵A的特征方程，特征值即为特征方程
的根。由于f ( )是 的 n 次多项式，所以方
程 f () 0在复数域内有 n 个根（重根按重数
计算）。
矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤：
第一步：求特征值。先通过行列式（6-4） 的计算，写出其特征多项式 f ()，这一步的
证：利用矩阵的数乘及乘法运算，y=T(x)Ax
是Rn到Rm的映射。若 y1=A x1,y2=A x2,显然 有
y 1 ＋ y 2 = A x 1 ＋ A x 2 ＝ A x 1 ＋ x 2 及 ky1＝Akx1
即T是 Rn到Rm的线性映射。
例6.2 向量空间V中的恒等变换 E:E(α)=α,αV 是线性变换。 证明：设 α,βV,kR ，则有
难度是计算一个高阶的矩阵的行列式，需 要很大的计算工作量；
第二步：并进行因式分解 f() ( 1 )( 2 ) ( n )
然后求出特征方程f () 0的全部根 1,2,,n
这就是A的所有特征值；
第三步：把每个特征值
分别代入方程，求
i
齐次线性方程组(iI-A)x0的非零解 ，p i 它就
是A对应于特征值 i 的一个特征向量（不是
量 x 为方阵A对应于特征值 的特征向量。将
（6-1）式变形为
(I-A)x0(或 (AI)x0) （6-2）
满足这个方程的 和 x 就是我们要求的特征
值和特征向量。
（6-2）式是含个 n 方程的 n 元齐次线性方程
组，它有非零解的充要条件是
I - A 0
（6-3)
记作
a11 a12 L a1n f () a21 a22 L a2n 0
6.1 n维空间的线性变换
定义6.1 设 X,Y 是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x ,按照一定的对应法则T，总有 Y中一个确定的元素y与之对应，则称 T
为从集合X到集合Y的映射，记为 y = T(x)
或 y = Tx ，x X 称y是X在映射T下的像，x是y 在 映射T下的源,X称为映射T的源集，像的全
则称T为从V n 到U m 的线性映射，或称线性变 换。线性映射就是保持线性组合的映射。
例6.1 试证所有矩阵相乘的关系式 y=T(x)Ax
即
y1 a11 a12 L a1n x1
y2
a21
a22 L
a2n
x2
M M M
M M
ym
am1 am2 L
amn
xn
都是Rn到Rm的线性映射。
例6.5 设矩阵
1 1 2
A
0
2
1
0 0 1
1)求及的特征值；
2)进一步求矩阵的特征值。
解： 1）由A的特征方程
1 1 2 I-A 0 2 1(1)(2)(1)=0
0 0 1
可得A的全部特征值为1，2，-1。
f(A)=2A3+A-5I的特征值为 f(i)2i3i 5
，即-2,13,-8。
6.2.2 方阵的特征值和特征向量的性质
性质1 n 阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特
征值。
性质2 设1,2,L,n是矩阵A的 n 个特征值，
则
1) 1 2 L n a 1 1 a 2 2 L a n n
2) 12L n A 称a11a22Lann为矩阵A的迹，记为 t r ( A )
性质3 设 为方阵A的特征值，则
1）当A可逆时，1
是A 1的特征值
2）A 是A的伴随矩阵 adj(A )的特征值
3）m(mN)是A m 的特征值；进而有矩阵A的 m
次多项式
f(A ) a 0 A m a 1 A m 1 L a m 1 A a m I
的特征值为
f() a 0m a 1m 1 L a m 1 a m
E(α+β)=α+β=E(α)+E(β), E(kα)=kα=kE(α)
所以恒等变换E是线性变换。
6.2 方阵的特征值和特征向量
6.2.1 特征值和特征向量的定义和计算
定义6.3 设 A (aij )是 n 阶方阵，若存在数 和 n 维非零列向量x ，使得
Ax=x
（6-1）
成立，则称数 为方阵A的特征值，称非零向
MATLAB提供了计算方阵的特征值和特征向 量各步骤的函数。这三个步骤是：