这是一个线性变换，
称为由数k决定的数乘变换，可用 K 表示。 显然，当k=1时，我们便得恒等变换，
当k=0时，便得零变换。
例5 在线性空间P [ x ]或者 P [ x ]中，求微商是一 n 个线性变换。这个变换通常用D代表，即
D ( f ( x )) f '( x ).
例6 定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成 实数域上一线性空间，以C(a,b)代表。在这个空 间中，变换 x
A ( B ( ) ) A ( B ( ) ) ( A B ) ( ) ( A B ) ( ) , ( A B ) ( k ) A ( B ( k ) ) A ( k B ( ) ) k A ( B ( ) ) k ( A B ) ( ) .
y ' sin cos y
来计算的。同样地，空间中绕轴的旋转也是一个 线性变换。
例2 设 是几何空间中一固定的非零向量，把 每个向量 变到它在 上的内射影的变换也是一 个线性变换，以 表示它。用公式表示就是
( ) ( , ) ( , )
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
( A B )( ) A ( B ( )) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，( A B )( ) A ( B ( )) A ( B ( ) B ( ))
2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变。 换句话说，如果 是 1 , 2 , , r 的线性组合：
k 1 1 k 2
2
k r r ,
( 1 ) , A ( 2 ) , ,
A ( ) 是 A 那么经过线性变换A之后， A ( ) 同样的线性组合：
J ( f ( x ))
是一线性变换。

f (t ) d t
a
从定义推出线性变换的以下简单性质： 1.设A是V的线性变换,则 A ( 0 ) 0 , A ( ) A 这是因为 A ( 0 ) A ( 0 ) 0 A ( ) 0 ,
( ).
A ( ) A ( ( 1) ) ( 1) A ( ) A ( ) .
例1 平面上的向量构成实数域上的二维线性空 间。把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转 角， I 就是一个线性变换，我们用 表示。如果平面上 x, y) 一个向量 在直角坐标系下的坐标是 ,( 那么 ( 是按 x ', y ') I 象 的坐标，即旋转 角之后 的坐标 照公式 sin x x ' cos
下面如果不特别声明，所考虑的都是某 一固定的数域P上的线性空间。
定义1 线性空间V的一个变换A 称为线性变换， , 如果对于V中任意的元素 和数域 P中任意数k, 都有 A ( ) A ( ) A ( ) ,
A ( k ) k A ( ) .
以后我们一般用黑体大写拉丁字母 A ,, B , 代 A ( ) 或A 代表元素 在变换A下的象。 表V的变换， 定义中等式所表示的性质，有时也说成线性 变换保持向量的加法与数量乘法。
第七章
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7

线性变换
线性变换的定义 线性变换的运算 线性变换的矩阵 特征值与特征向量 对角矩阵 线性变换的值域与核 不变子空间
表示符号


A N A N A N
B C D E F G H I J K LM O P Q R S T UV WX YZ B C D E F G H I J K L M O P Q R S T U V W X Y Z B C D E F G H I J K LM O P Q R S T UV WX YZ
§1


线性变换的定义
定义 例题 性质
定义
上一章我们看到，数域P上任意一个n维 n 线性空间都与P 同构，因之，有限维线性空 间的结构可以认为是完全清楚了。线性空间 V到自身的映射通常称为V的一个变换。这一 章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时 也可以认为是最基本的一种变换。线性变换 是线性代数的一个主要研究对象。
这说明AB是线性的。 既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换 的乘法当然也适合结合律，即
( A B ) C A ( B C ).
但线性变换的乘法一般是不可交换的。例如,在 实数域R上的线性空间R[x]中，线性变换
D ( f ( x ) ) f '( x ) , J ( f ( x ) )
r
A ( ) k 1 A ( 1 ) k 2 A ( 2 )
, r之间有一线性关系式
k 1 1 k 2
2
k r
r
0,
那么它们的象之间也有同样的关系
A ( ) k 1 A ( 1 ) k 2 A ( 2 )
k r A ( r ),
3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组。 但应该注意，3的逆是不对的，线性变换可能 把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组。 例如零变换就是这样。 BACK
§2


线性变换的运算
乘法 加 减 数乘 逆变换 变换的多项式
线性变换的运算
在这一节,我们来介绍线性变换的运算及其简 单性质。
.
这里( , ), ( , ) 表示内积。
例3 线性空间V中的恒等变换或称单位变换E,即 以及零变换0，即
E ( )
O ( ) 0
( V ), ( V )
都是线性变换。
例4
设V是数域P上的线性空间，k是P中某个数
k , V .
定义V的变换如下：