X P(X=xi) x1 p1 x2 p2 …… …… xi pi …… ……
第三节 随机变量及其频率分布
2、连续型随机变量的频率分布
对于连续型随机变量，无法研究个别值的概率，只能研究某
个区间的概率，或是研究随机变量X取值大于或等于某一数值的 概率分布，即P（X≥xi）。有时也研究X的取值小于等于某值的
二 、频率 1、频率计算公式： 设随机事件A在n次随机试验中，实际出现了m次，则
m P( A) n
（3-2）
称为随机事件A在n次试验中出现的频率。
例：随机事件A：某条河流某断面出现大于等于20m3/s的流量。 （1）做随机实验两次，分别测得流量为5.1m3/s、16m3/s。
P ( A) m 0 n
（二）均方差和变差系数 1、均方差 均方差则表示系列中各个值相对于均值的离散程度。 例：甲系列：10、30、50 x甲 x乙 30 乙系列：1、30、59
x1 x2 ... xn 1 n x xi n n i 1
（3-6）
第三节 随机变量及其频率分布
均方差的计算公式为
第二节 概率、频率、重现期
(二)概率 1、定义：概率就是用来描述某一随机事件发生可能性大小的 数量指标。 2、随机事件的概率计算公式
式中 P（A）—在一定条件下随机事件A发生的概率； n —在试验中所有可能出现的结果总数； m—在试验中属于事件A的结果数。 ∵ 0≤m≤n ∴0≤ P（A）≤1 P（A）=0 不可能事件 ； P（A）=1 必然事件
2 2 2
甲 乙
例：甲1系列 5 、20、35 乙1系列
甲 乙 15
1 1
1985、2000、2015
第三节 随机变量及其频率分布
2、变差系数CV（离差系数） 可比较均值不等的系列的离散程度，计算公式为
1 CV x x
( xi x)
i 1
n
2
n 1

(ki 1) 2
第三章
水文统计的基本方法
第一节 概 述
第一节 概 述
教学内容： 一、水文现象的统计规律 二、水文统计及其任务 教学要求： 了解水文现象的统计规律及水文统计的任 务。
第一节 概 述
一、水文现象的统计规律 水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具 有偶然性的一面。偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是 有规律的，一般称为统计规律。 二 、水文统计及其任务 数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论, 而由 随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规 律的学科称为数理统计学。概率论与数理统计学应用到水文 分析与计算上则称为水文统计。 水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统计变化 特性。并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在 概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及 运营期间的需要。
概率，即P（X≤xi）。后面二者可以相互转换，水文统计中常用
X ≥xi 的概率及其分布。另外，在水文上遇到的都是样本资料， 通常要用样本的频率分布规律去估计总体的概率分布规律，所以
重点研究随机变量X ≥xi的频率分布。
【例3-1 】已知某雨量站1935～1998年共64年的年降水量，如表3-2所示，试分析该样
第三节 随机变量及其频率分布
二、随机变量的频率分布 1、离散型随机变量的概率分布 随机变量各个取值与其概率之间的一一对应关系，称为 随机变量概率分布或分布律。 离散型随机变量X的概率分布可表示为 P（X=xi)=pi( i=1,2…) (3-5) 也可用表格或图来表示。 离散型随机变量及其概率分布表
CS
( xi x)
i 1 3
n
3
(n 3) x CV
3

(ki 1)3
i 1
n
(n 3)CV
序号
年降水量 (组距 ⊿x=100mm ) ②
各组出现次 数 (次)
累积出现次 数 (次)
各组出现频 率 pi(%) ⑤
累积频率 p(%)
4/6 4
①
③
④
⑥
1 2 3 4 5 6 7 8
900~999 800~899 700~799 600~699 500~599 400~499 300~399 200~299 总计
第三章 水文统计的基本方法
第二节 概率、频率、重现期
第二节 概率、频率、重现期
教学内容： 一、概率 二、频率 三、重现期 教学要求： 掌握概率、频率和重现期的概念；掌握频率 和概率的联系和区别；掌握频率和重现期的关系。
第二节 概率、频率、重现期
一 、概率 （一）随机试验与随机事件 1、随机试验
式中：T——重现期，年； P——频率，％。
第二节 概率、频率、重现期
例：P=0.1% P=5% 则 则 T=1000年 T=20年 千年一遇的洪水 二十年一遇的洪水
（2）在研究枯水问题时，一般设计频率P＞50％，则
1 T 1 P
例：P=75% P=80% P=20% 则 则 则 T=4年 T=5年 T=5年 四年一遇的枯水 五年一遇的枯水 五年一遇的洪水
（2）做随机实验三次，分别测得流量为5.1m3/s、16m3/s、21m3/s。
P ( A) m 1 n 3
第二节 概率、频率、重现期
2、频率和概率的区别和联系 区别：概率是抽象数．是个理论值；频率是具体数，是个经验值。 联系：频率随实验次数的增多而逐渐稳定．并趋近于概率。
表3-1 掷币实验出现正面的频率 实验者 蒲丰 （Buffon) 皮尔逊 （K.Pearson) 皮尔逊 （K.Pearson） 掷硬币次数 4040 12000 24000 正面出现的次数 2048 6019 12014 正面出现的频率 0.5069 0.5016 0.5005 频率越 接近概 率0.5
本系列的频率分布规律。 表3-2 某站年降水量
年降水量 年份 年降水量 年份
（单位：mm）
年降水量 年份 年降水量 年份 年降水量
年份
1935 1936 1937
476 486 905
1948 1949 1950
285 528 583
1961 1962 1963
549 702 563
1974 1975 1976
①可以在相同的条件下重复进行； ②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先知道实验
所有可能出现的结果或范围；
③每次试验之前无法确定究竟哪种结果会出现。
2、随机事件 随机试验中所有可能出现或不可能出现的事情，称之 为事件。
第二节 概率、频率、重现期
事件按照其发生的可能性大小分为三类：
（1）必然事件。即在一定条件下肯定会发生的事件。 （2）不可能事件。即在一定条件下肯定不会发生的事 件。 （3）随机事件。即在一定的条件情况下有可能发生， 也有可能不发生的事件。
1 3 5 12 23 12 5 3 64
1 4 9 21 44 56 61 64
1.6 + 4.7 7.8 18.7 36 18.7 7.8 4.7 100
1.6 6.3 14.1 32.8 68.8 87.5 95.3 100
1.6 4.7 7.8 18.7 36 18.7 7.8 4.7
23 64
第二节 概率、频率、重现期
三、重现期 1、定义：所谓重现期，是指某随机事件在长期过程中 平均是多少年比现一次，称为“多少年一遇”，用字 母T表示。 2、根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关系 有两种表示方法 ： （1）在研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P＜50％， 则: 1 （年） T
P
m P ( A) n
（3-1）
第二节 概率、频率、重现期
例：箱子里有黄球4个，白球1个，每次摸到白球的概率为 1 / 5
简单随 机事件
… … …
3
5 0
… 2 … 0 … 5
… … …
Байду номын сангаас
2/5
0
1
例：某条河流某断面的流量出现大于等于20m3/s的概率为
复杂随 机事件 不知道
n=？
第二节 概率、频率、重现期
i 1
n
n 1
（3-8）
xi k 式中，ki为模比系数， i 。 x 代入以上公式得
CV甲1 15 15 0.75 CV乙1 0.0075 20 2000
第三节 随机变量及其频率分布
(三)偏差系数Cs（偏态系数） 反映系列中各值在均值两侧分布是否对称或不对称（偏 态）程度的一个参数，计算式为:
1200
年降雨量x(mm)
1000 800 600 400 200 0 0 20 40 60 80
根据表3-3中 ②、⑥栏绘 成，简称频 率曲线。
100 120 累积频率p(%)
图3-2 某站年降水量累积频率分布图
第三节 随机变量及其频率分布
三、随机变量的统计参数 (一)算术平均数 x 表示样本系列的平均情况，反映系列总体水平的高低。

( xi x) 2
i 1 n
n 1
（3-7） 说明该两系 列各值相对 均值的离散 程度相同吗？
代入以上公式得
2 2 2 （10 30） 30 30） 50 30） （ （ 甲 20 3 1
乙
（1 30） 30 30） 59 30） （ （ 29 3 1
第三节
随机变量及其频率分布
教学内容： 一、随机变量 二、随机变量的频率分布 三、随机变量的统计参数 四、抽样误差 教学要求： 了解随机变量及其分类；掌握频率曲线、随机变量统 计参数的含义和计算方法；对抽样误差的定义和计算公 式有一定的了解。
第三节 随机变量及其频率分布