四、频率
设事件A在n次试验中出现了m次，则称为事件A在n次试验中
出现的频率。 W(A)=m/n 当试验次数n不大时，事件频率很不稳定，具有随机性； 当试验次数n足够大时，事件频率与概率之差会达到任意小的 程度。
五. 累计频率（P）：等量和超量值的频率之和（累计）。
某桥位处测得40年最高水位资料如下表，求水位
0
225 1225 2500
0
-3375 -42875 -125000
1
0.925 0.825 0.75
0
-0.075 -0.175 -0.25
0
-0.00042187 -0.00535938 -0.015625
均值
均方差 变差系数 偏态系数
200
2790
52.8 0.264102
165750
0.10359375
≥25m时的累积频率。
解：当水位H＝25m时，W=25% H＝30m（大于25m）时， W=5% P=25%+5%=30% 意义：表明若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的
水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为30％。
第三节 随机变量及其概率分布 一、随机变量
随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取值用 xi 表 示 。例: 水文特征值：年径流、洪峰流量。 随机变量分类：
（1）根据实测水文资料，按从大到小的顺序排列； （2）用经验频率公式计算系列中各项的频率; （3）以水文变量X为纵坐标，以经验频率P为横坐标，
点绘经验频率点据；
（4）根据点群趋势绘出一条平滑的曲线。
例题
年份 （ 1） 1961 年最大洪峰流 量 （2） 720
序号 （3） 1 由大到小排列 （4） 2650 经验频率 （ 5） 9.1
皮尔逊Ⅲ型频率曲线绘制步骤

在统计参数
x, Cv , Cs
已知情况下，可按以下步骤绘
制皮尔逊Ⅲ型频率曲线：
（1）从
值(离散系数)表中选取若干个频率 P ； 值表得出不同 P 的 p 值；
值，通过式
（2）由Cs值，查 （3）利用
x, Cv
x p x(1 p Cv) (Kp=1+Φp*Cv) 模比系数
1030 720
72.7
81.8 90.9
2.经验频率曲线存在的问题 ： 经验频率曲线计算工作量小，绘制简单，查用方 便，但受实测资料所限,往往难以满足设计上的需 要。 徒手对曲线两端外延是一种方法，但随意性很大。
二、理论频率曲线
实际工作中，常常采用数理统计中已知的频
率曲线来拟合经验点据，这种曲线人们习惯上称
2.75 1.80 1.33 0.80 -0.10 -0.72 -1.20 -1.45 -1.88
例：某站年径流系列符合P-Ⅲ型分布，已知该系列的
R=650mm， CV=0.25 ，CS=2Cv，试绘理论频率曲线。
解：当CS=2Cv 时，查附表2，得不同频率下的Kp，代入下式
求Xp：
P
Kp Xp P Kp Xp
⒋ 偏态系数（Cs）:反映系列中各变量值在均值 两边的对称程度。（衡量系列不对称程度的 参数）
样本系列统计参数计算
样本 1 系列 300 (xi-x)2 10000 (xi-x)3 1000000 Ki 1.5 Ki-1 0.5 (Ki-1)3 0.125
2
3 4 5
200
185 165 150
1
1.67 1085.5 95 0.63 409.5
2
1.58 1027 99 0.52 338
例题：设某水文站， Q 1000 m 3 / s , c 0 .5, c 1 .5试 , v s 求此理论频率曲线及水文站附近某桥的设计洪峰流量 Q1
％和Q 5％。
解：按公式
Q p Q (1 c v p )
1.12 1.12
五、正态分布
自然界中许多随机变量，如：水文测量误差、抽样误
差等，都服从或近似服从正态分布。
密度函数：
密度曲线：
面积 99.7%
正态分布密度曲线三个特点：
（1）单峰；
（2）曲线关于均值对称，Cs=0
（3）曲线两端趋于±∞，并以x轴为渐近线。
六、(海森)频率格纸（几率纸）选用
正态频率曲线在普通格纸 上为一条规则的S型曲线，它 在P=50%前后的曲线方向虽 然相反，但形状完全一样。
求出于各种 P 相应的
xp
值。以 x 为纵坐标，P 为横坐
标，从而可绘出理论频率曲线。
例题
年份 （ 1） 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970
某河流年最高水位（m) （ 2） 720 880 630 950 440 420 780 660 870 650
可以是数量性质也可以是属性性质。 事件可以分为三类： （1）必然事件； （2）不可能事件； （3）随机事件。（事件）
三、概率
概率：反映随机事件出现的可能性大小的数量标准。 计算如下： P(A)=k/n （1）k为有利于随机事件A的可能结果数； （2）n为试验中所有可能出现的结果数。 概率公式只适用于古典概率事件，也就试验的所有可能结果 都是等可能的，且可能结果的总数是有限的。
入“变差系数”
⒊ 变差系数（Cv）：反映系列中各变量值相对集 中或离散的程 度。 （值越小分布越集中）
例： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
我国降水量与径流量的变差系数，一般是 南方小，北方大；沿海小，内陆大；平原小， 山区大。
P=1％，Cs＝1.5，查表得 P = 3.33
则Q p＝1000(1+0.5*3.33)=2665m3/s
按公式
Qp k p Q
P=1％，Cv＝0.5， Cs＝3Cv查表得 k P = 2.67 则Q p＝1000*2.67=2670m3/s
三、频率与重现期的关系
水文上常用“重现期”来代替“频率”
皮尔逊Ⅲ型频率曲线计算表(实例）
频率
P(%) 1 5 10 20 50 75 90 95 99
x 666.4
Cv 0.30
Cs 2Cv
p
x Kp p
1.83 1.54 1.40 1.24 0.97 0.78 0.64 0.56 0.44
xp
1219 1025 933 826 646 520 426 373 293
F(x)= P(X≥x)
它代表随机变量X大于某一取值x的概率。
分布曲线
（频率曲线）
四、随机变量的统计参数
随机变量的分布参数（统计参数）：能说明随机变量
统计规律的某些特征数字。
水文计算中常用的统计参数有：均值、均方差、变
差系数和偏态系数、矩。
⒈ 均值(x)：表示随机变量系列中各变量值平 均情况。
第五节 频率曲线参数估计方法
一、矩法
用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的 关系，来估计频率曲线的参数。(无偏差估计公式)
1.离散型随机变量概率分布：
2.连续型随机变量概率分布：
对于连续型随机变量，无法研究个别的概率，只能研 究某个区间的概率，或是研究事件X ≥ x的概率（累计概 率），以及事件X ≤ x的概率。（水文统计中常用X ≥ x的 概率及其分布） 设事件X ≥ x的概率用P(X≥x)来表示，它是随机变量x 取值而变化的。 P(X≥x)是x的函数，称为随机变量x的分布 函数，记为F(x):
P=50%
正态频率曲线
累积频率
第四节 水文频率分布线型
水文频率曲线：水文分析计算中使用的概率分布曲线。
分为：经验频率曲线和理论频率曲线。
水文频率分布线型：指所采用的理论频率曲线（频率 函数）的形式，它的选择取决与大多数水文资料的经验频 率点据的配合情况。 频率计算两大内容： 1、分布线型的选择 2、 统计参数的估算
1、离散型随机变量：
2、 连续型随机变量：水文特征值属连续型随机变量。
二、总体和样本
总体：在统计数学上，把研究对象的全体称为总体。
样本：从总体中任意抽取的一部分叫做样本。
三、随机变量的概率分布
概率分布：随机变量可以取所有可能值中的任意一个值， 但是取某一可能值的机会（概率）是不同的，有的机会大， 有的机会小，随机变量的取值与其概率有一定的关系。
第三章 水文统计方法
第一节 水文统计的意义
一、水文现象的随机性
水文现象：是指地球上的水受外部作用而产生的永无休止的 运动形式,即降雨，入渗，径流，蒸发等现象的统称。 水文现象的随机性：影响水文现象的因素众多，同时各种因 素本身及其组合在时间上、变化上也是错中复杂的，这使得 水文现象在发生时间和数值上不会完全重复，具有一定的偶 尔性和不确定性特点，即随机性。
第二节 概率的基本概念
一、随机试验
随机试验（E）：在概率论中，对随机现象的观测。 具有三个特点： （1）在相同条件下重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的 所有可能结果； （3）进行一次试验，试验之前不能确定哪一个结果会出现。
二、事件
事件：指在一定的条件组合下，随机试验的结果。
1962
1963 1964
10860
1440 1420
18.2
27.3 36.4
1965 1966 1967 1968 1969 1970
1440 1420 1120 2060 1370 2650
5
6 7
1370
1250 1120
45.5
54.5 63.6
8
9 10