高等数学（下）主讲杨益民
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数极值及最大、最小值
1.定义：若函数z=f (x, y)在(x0, y0)的某邻域内有 f (x, y)≤f(x0, y0)（或f (x, y)≥f(x0, y0)）
则称函数z=f (x, y)在(x0, y0)有极大值f(x0, y0) （极小值f(x0, y0)）， (x0, y0)称为函数z=f (x, y) 的极大值点（极小值点）。
)?
0
sin? ? 0 , x ? 0
?12 ? 2x ? x cos? ? 0
?
? ?
24cos
?
?
2x cos?
?
x(2cos 2 ?
? 1) ?
0
（1） （2）
(2)－(1)2cos? ，得： 2xcos? －x = 0
? ? ? ? 60 , x ? 8 (cm)
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解得:
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A ? 1 (24 ? 2x ? 2x cos? ? 24 ? 2x ) ?x sin ?
2
? 24x sin? ? 2x 2 sin? ? x2 cos? sin? ( D : 0 ? x ? 12, 0 ? ? ? π )
2
?x
x?Байду номын сангаас
24 ? 2x
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xy z ? ? ex2? y2
极大值与极小值统称为极值；极大值点 与极小值点统称为极值点；
注意：极大值(或极 小值)是局部的最大 值(或最小值)。
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例1 函数 z ? 3 x 2 ? 4 y2 在 (0,0) 处有极小值．
例2 函数 z ? ? x 2 ? y2 在 (0,0) 处有极大值．
解: 1. 利用隐方程组求偏导及必要条件zx=zy=0得驻点(1,-1)； 2. 带入原方程求得相应的z=-2, z=6；
3. 隐方程组再求偏导得A,B,C； 4. 判断并求出极值。
注：偏导数不存在的点，也是极值可疑点。如：z ? x 2 ? y2 , (0,0)
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3.多元函数的最值
f 在有界闭域上连续 依 据 f 在有界闭域上可达到最值
最 值
驻点；
可 偏导不存在的点；
疑 点
边界上的最值点。
求最值的一般方法： 比较最值可疑点的函数值的大小，其中最大者即为最大
值，最小者即为最小值。
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 则 f (P)就是最值。
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例6 求函数z=x + y-x2 – xy –y2在由直线 x + y = 1与x轴和y轴所 围成的闭区域上的最大值与最小值。
例7 有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来做成一个 断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面积最大。
解： 设折起来的边长为 x cm，倾角为? , 则断面面积为
例3 函数 z ? xy 在 (0,0) 处无极值．
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(1) (2) (3)
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2.多元函数取得极值的条件
定理1（必要条件）设函数z=f(x0, y0) 在点(x0, y0)具有偏 导数，且在点(x0, y0)处取得极值，则
fx (x0, y0) = 0， fy (x0, y0) = 0 证明：( 略 )
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例4 求函数
的极值。
解: 1. 求驻点(1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) ；
2. 求相应的A,B,C； 3. 判断并求出极值。 例5 求由方程 x 2 ? y2 ? z2 ? 2x ? 2 y ? 4z ? 10 ? 0 确定的 函数z=f (x, y)的极值。
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由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有唯
一驻点, 故此点即为所求。
例8
求
z?
x
2
x ?
?y y2 ?
1
的最大值和最小值。
解
? ? zx 令：??
? ??
z
y
? ?
(x2 (x2
? y2 ? 1) ? 2 x( x ( x 2 ? y 2 ? 1)2
? y2 ? 1) ? 2 y( x ( x 2 ? y2 ? 1)2
注意: 使偏导数都为 0 的点称为 驻点。但驻点不一 定是极值点。
例如：z = xy 有驻点(0, 0)，但(0, 0)不是极值点。
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问题： 如何判定一个驻点是否为极值点？
定理2（充分条件） 设函数z=f (x, y)在(x0, y0)的某邻域内具有 一阶及二阶连续偏导数，且 fx (x0, y0) = 0， fy (x0, y0) = 0，令
A( x,? ) ? 24x sin? ? 2x 2 sin? ? x 2 cos? sin?
( D : 0 ? x ? 12, 0 ? ? ? π )
2
令：??? Ax ? A?
? ?
24sin ? ? 24x cos?
4x sin ? ? 2x sin ? cos? ? 0 ? 2x 2 cos? ? x 2 (cos2 ? ? sin 2 ?
求函数 z=f (x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y) ? 0, f y ( x , y) ? 0
求得驻点。
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C。
第三步 由 AC ? B 2的符号判定是否是极值， 并求出相应的极大值或极小值。
? ?
y) y)
? ?
0 0
得驻点( 1 , 1 )和(? 1 ,? 1 )，
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x? y
lim
x ??
x2
?
y2 ? 1 ? 0
即边界上的值为零。
y ??
z( 1 , 1 ) ?
A= fxx (x0, y0) ，B= fxy (x0, y0) ，C= fyy (x0, y0) 则： （1）当AC-B2<0时，没有极值； （2）当AC-B2>0时，具有极值；
当A<0时，有极大值；当A>0时，有极小值； （3）当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论。
证明：( 略 )
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