空间向量的概念解析
例1、下列说法中正确的是（ ）
A.若｜a ｜=｜b ｜，则a,b 的长度相同，方向相同或相反
B.若向量a 是向量b 的相反向量，则｜a ｜=｜b ｜
C.空间向量的减法满足结合律
D.在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=
练习
1、给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③若空间向量a,b 满足｜a ｜=｜b ｜，则a=b ；④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等，其中正确命题的个数为（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
2、下列四个命题：
（1）方向相反的两个向量是相反向量
（2）若a,b 满足｜a ｜＞｜b ｜，且a,b 同向，则a ＞b
（3）不相等的两个空间向量的模必不相等
（4）对于任何向量a,b ，必有｜a+ b ｜≤｜a ｜+｜b ｜
其中正确命题的序号为（ ）
A.（1）（2）（3）
B.（4）
C.（3）（4）
D.（1）（4）
空间向量的线性运算
例1、 已知长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量
（1）AA CB '-（2）AB B C C D '''''++（3）
111222
AD AB A A '+- 练习
1、如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（ ） ①1()AB BC CC ++②11111()AA A D DC ++ ③111()AB BB BC ++④11111()AA A B BC ++
A.1个
B.2个
C.3个
D.4 个
2、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若
11111,,A B a A D b A A c ===，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ） A.1122a b c -++ B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D.1122
a b c --+
用已知向量表示未知向量
例1、已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x,y 的值：
（1）OQ PQ xPC yPA =++
（2）PA xPO yPQ PD =++
练习：
1、本例中若PQ xBA yBC zBP =++，则x,y,z 为何值？
2、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 1,,AB a AD b AA c
===M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN:NA 1=4：1，用a, b, c 表示以下向量：
（1）AM （2）AN
共线向量定理
例1、 如图所示，已知四边形ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面，M,N 分别是AC,BF 的
中点，判断CE 与MN 是否共线
练习： 1、已知空间向量a,b ，且2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是（ ）
A. A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
2、已知四边形ABCD 是空间四边形，E,H 分别是边AB,AD 的中点，F,G 分别是边CB,CD 上的点，且22,33
CF CB CG CD ==求证：四边形EFGH 是梯形
共面向量定理
例1、 对于任意空间四边形ABCD ，E,F 分别是AB,CD 的中点，试证：EF 与,BC AD 共面 _
练习： 1、 在下列条件下，使M 与A,B,C 一定共面的是（ ）
A. 32OM OA OB OC =--
B. 0OM OA OB OC +++=
C. 0MA MB MC ++=
D. 1142
OM OB OA OC =-+ 2、已知A,B,C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足111333OM OA OB OC =
++ （1）判断,,MA MB MC 三个向量是否共面
（2）判断M 是否在平面ABC 内
基底的判断
例1、若｛a, b, c ｝是空间的一个基底，试判断｛a+b,b+c,c+a ｝能否作为该空间的一个基底
练习：
1、设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且｛a, b, c ｝是空间的一个基底，给出下列向量组：
①｛a, b, x ｝, ②｛x, y, z ｝, ③｛b, c, z ｝, ④｛x, y, a+b+c ｝
其中可以作为空间的基底的向量组有______个
2、已知｛e 1, e 2, e 3｝是空间的一个基底，且1231232,32OA e e e OB e e e =+-=-++123,OC e e e =+-，试判断{}
,,OA OB OC 能否作为空间的一个基底?
空间向量分解定理及应用
例1、空间四边形OABC 中，G,H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设,,OA a OB b OC c ===，试用向量a,b,c 表示向量OG GH 和
练习
1、本例题中条件不变，若E 为OA 的中点，试用a,b,c 表示DE EG 和
2、四棱锥P-OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC,设,,OA a OC b OP c ===，E,F 分别是PC 和PB 的中点，试用a,b,c 表示：,,,BF BE AE EF
数量积的运算
例1、如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E,F 分别是OA,OC 的中点，求下列向量的数量积：
（1）OA OB • （2）EF CB • （3）()()OA OB CA CB +•+
练习
1、如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，
则下列向量的数量积等于a 2的是（ ）
.2.2.2.2A BA AC
B AD BD
C FG CA
D EF CB
••••
2、已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中心，求下列向量的数量积11(1);(2)BC ED BF AB ••
用数量积求夹角
例1、如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA 1
,求异面直角BA 1与AC 所成角的余弦值
练习：
1、已知a,b 是异面直线，A ∈a,B ∈a,C ∈b,D ∈b,AC ⊥b,BD ⊥b,且AB=2，CD=1，则a 与b 所成的角是（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
2、已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等，E 、F 分别为AB 、OC 的中点，求OE BF 与所成角的余弦值
利用数量积求两点间距离
例1、如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且
彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长
练习：
1、如图，已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）
A.
2、在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD
成60°角，求B,D间的距离
利用数量积证明垂直问题
例1、已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD,AC⊥BD,求证：AD⊥BC
练习：1、已知向量a,b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l 上，则==
且是l⊥α的（）
c a c b
0,0
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC,M,N分别是OA、BC的中点，G是M、N的中点，求证：OG⊥BC。