平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）
一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分）
1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b
， 则锐角α为（ ）
A.
6π
B. 4π
C. 3
π D. 125π
2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a
-+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ）
A. 1
B.
51 C. 53 D. 5
7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a
,)2(,)2(⊥-⊥-（ ）
A.
6π B. 3
π
C. 32π
D. 65π
5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3
π
）平移，再将所得图像上各点的横坐标
变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+
3π)+2 B.y=sin(2x －3
π
)－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2
6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25]
7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a
方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17)
8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足
=OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( )
A.01123=-+y x
B.5)2()1(2
2
=-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x
9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则⋅的值为 （ ） A.2
m B.
212m C. 4
1
2m D. 432m
10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-⋅-=0,
则点P 的轨迹一定过△ABC 的 （ ）
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
11．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1与BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为（ ） A. 23arccos
B. 1010arccos
C. arccos 53
D. arccos 5
2 12.三棱锥O-ABC 中，设的中点，分别为B C OA ,,,,N M c b a
===，点
G ∈MN ，MG:GN=2,则分别等于则z y x OC z OB y OA x OG ,,,++=（ ） A.
31, 31,31 B.31, 31,61 C.31, 61,31 D.61, 31,3
1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知),cos ,1,(sin ),sin ,1,(cos αααα==b a
则向量b a b a -+与的夹角为______
14．已知空间三点A(0,2,3), B(－2,1,6), C(1,－1,5),以AC AB 、
为边的平行四边形的面积为 15．已知向量B A B A B A m tan tan 223
)2sin 5,2cos
2(，则的模为+-=
的值为___ 16．若对n 个向量n a a a
,,,21存在n 个不全为零的实数,,,,21n k k k 使得
02211
=+++n n a k a k a k 成立，则称向量n a a a ,,,21为“线性相关”.依此规定，能说
明)2,2(),1,1(),0,1(321=-==a a a
“线性相关”的实数321,,k k k 依次可以取_____________________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况). 三、解答题（本大题共4小题，共58分）
17．（本题满分13）已知A(3,0),B(0,3),C(cos ).sin ,αα (1)若α2sin ,1求-=⋅的值；
(2)若. ),,0(,13||的夹角与求且πα∈=+
18．（本题满分16分）如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，,60
=∠ABC PA=AC=,2,a PD PB a =
=点E 在PD 上，且PE : ED=2 : 1.
(1) 证明：PA ⊥平面ABCD ； (2) 求的值；><AE BP ,cos
(3) 在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC
13．
2 14．37 15．9
16.
由
得
,0332211
=++a k a k a k ⎩⎨
⎧=+-=++0
20232221k k k k k 可得
⎪⎩⎪
⎨⎧=-==c k c k c k 242
13（取任一非零常数）c c ,0≠，故可取（－4,2，1）等.
17．解：（1）),3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=a a a a 由1-=⋅，得
3
2
sin cos ,1)3(sin sin cos )3(cos =
+∴-=-+-a a a a a a 两边平方，得 .9
5
2sin ,942sin 1-=∴=
+a a （2）2
1
cos ,13sin )cos 3(),sin ,cos 3(2
2
=∴=++∴+=+a a a a a OC OA
,2
3sin ,3),,0(==∴∈a a a π
π .
233=⋅OC OB 设OB 与OC 的夹角为θ, 则
,6
,23cos π
θθ＝ ∴=
=
.6π的夹角为与∴
20．解：（1）因为底面ABCD 是菱形，
60=∠ABC ，所以AB=AD=AC=.a
在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2,知PA ⊥AB.同理,PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD. （2）以A 为坐标原点，直线AD,AP 分别为y 轴，z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图. 由题设条件，相关各点的坐标分别为
)3
1,32,0(),,0,0(),0,21,23(
),0,0,0(a a E a P a a B A - ∴),2
1,23(),31,32,
0(a a a a a -== ∴51029
53131|
|||,cos 222
2=
+=⋅>=<a a a
a AE BP （3）∵),0,0(),0,,0(),0,2
1
,23(
a P a D a a C ∴).,0,0(),,2
1,23(),0,21,23(a a a a a a =-==
设点F 是棱PC 上的点，则　其中 ,10),,2
1
,23(
<λ<λ-λλ=λ=a a a PC PF ),2
1
,23(),21,23( λ-λλ+-
=+a a a a a a ))1(,)1(2
1,)1(23(
λ-λ+-λ=a a a . 得令21λ+λ=
,31)1(3221)1(2
1
23
)1(2
3221
1⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧λ=λ-λ+λ=λ+λ=-λa a a a a a a 解得.23,21,2121=λ-=λ=λ 即2
3
2121+-==
λ时，∴F 是PC 的中点时,,,共面. 又∵，平面AEC ⊄BF ∴当F 是棱PC 的中点时，BF .AEC //平面。