∫
dx 2 x −1
1 1 1 ]dx = ∫[ − 2 x −1 x +1
1 = (ln x − 1 − ln x + 1 ) + C 2x −1 1 = ln源自+ C. 2 x +1
1 dx . 求 ∫ x (1 + 2 ln x )
解
∫
1 1 d (ln x ) dx = ∫ 1 + 2 ln x x(1 + 2 ln x )
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将 说明
∫
f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx 化为
∫ g(u)du.
左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数. 左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数
例1
求
α
∫
3
x + 5dx .
1 uα +1 + C 已知∫ u du = α +1
1 = − cos 2 x + C ; 2 解（二）∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin x cos xdx = 2 ∫ sin xd (sin x )
= (sin x ) + C ;
2
1 2 已知∫ udu = u + C 2
解（三） ∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin x cos xdx = −2 ∫ cos xd (cos x )
解
∫
3
x + 5dx
(令 = x + 5) u
=
∫u
4 3
1 3
du
4 3
3 3 = u + C = ( x + 5) + C . 4 4
例2
1 ∫ a 2 + x 2 dx .(a ≠ 0) 1 dx = arctan x + C 已知∫ 2 1+ x
1 1 ∫ a 2 + x 2 dx = a 2 ∫
例13 求
∫
1 dx . 2x + 3 + 2x − 1
解：原式 = ∫
(
2x + 3 − 2x − 1 dx 2 x + 3 + 2 x − 1 )( 2 x + 3 − 2 x − 1 )
1 1 = ∫ 2 x + 3dx − ∫ 2 x − 1dx 4 4 1 1 = ∫ 2 x + 3d ( 2 x + 3) − ∫ 2 x − 1d ( 2 x − 1) 8 8 1 1 3 3 = ( 2 x + 3 ) − ( 2 x − 1) + C . 12 12
x 1 x d =∫ =∫ d tan 2 x x x 2 2 tan tan cos 2 2 2 x = ln tan + C = ln(csc x − cot x ) + C . 2 1
（使用了三角函数恒等变形） 使用了三角函数恒等变形）
1 sin x 解（二） ∫ csc xdx = ∫ dx = ∫ 2 dx sin x sin x 1 d (cos x ) = −∫ u = cos x 2 1 − cos x 1 1 1 1 + du = − ∫ = −∫ du 2 2 1− u 1+ u 1− u
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln( 3 + 2 x ) + C . 2 u 2 2
一般地
∫
1 f (ax + b )dx = ∫ f (u)du (其中u = ax + b) a
1 dx ∫ u du = l n u + C . ∫ x2 − 1. 书中例4 书中例4 求 1 1 1 1 1 解 x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1) = 2 [ x − 1 − x + 1 ],
1 1 d (1 + 2 ln x ) = ∫ 2 1 + 2 ln x
u = 1+ 2ln x +
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln(1 + 2 ln x ) + C . 2 u 2 2
例5 求 解
∫
5
s in 5 x d x .
sin xdx = sin4 x ⋅ sin xdx ∫
2
5 2
5
1 − sin t cos tdt
2
= ∫ sin t cos tdt = LL
（应用“凑微分”即可求出结果） 应用“凑微分”即可求出结果）
定理7.2.2 第二换元积分法） 定理7.2.2 （第二换元积分法） 上可导， 设 x = ϕ(t ) 在 [a , b] 上可导， ϕ(t ) ∈[α, β ] ， f ( x) 在
∫
= − ∫ (sin 2 x )2 d (cos x )
= − ∫ (1 − cos 2 x )2 d cos x
= ∫ ( −1 + 2cos 2 x − cos 4 x )d cos x
2 3 1 5 = − cos x + cos x − cos x 3 5
+C .
说明 当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇 当被积函数是三角函数相乘或幂时， 次项去凑微分. 次项去凑微分
2 4 6
1 3 2 5 1 7 = sin x − sin x + sin x + C . 3 5 7
例6 求 解
∫
1 dx . cos x
1 1 cos x ∫ cos x dx = ∫ cos2 x dx = ∫ 1−sin2 x d sin x
1 1 1 )d sin x = ∫( + 2 1 + sin x 1 − sin x
= − (cos x ) + C .
2
1 2 已知∫ udu = u + C 2
1 dx . 例4 求 ∫ 3 + 2x
解
d (3 + 2 x ) = (3 + 2 x )′dx = 2dx ,
1 1 1 1 1 ∫ 3 + 2 xdx = 2 ∫ 3 + 2 x ⋅ (3 + 2 x)′dx = 2 ∫ 3 + 2 x ⋅ d (3 + 2 x)
附例 求 sin 2 x ⋅ cos 5 xdx . 解
∫
2
∫ sin
x ⋅ cos xdx
5
= ∫ sin2 x ⋅ cos4 xd(sin x)
= ∫ sin x ⋅ (1 − sin x ) d (sin x )
2 2 2
= ∫ (sin x − 2 sin x + sin x )d (sin x )
1 1 + sin x = ln +C 2 1 − sin x
1 (1 + sin x ) = ln + C = ln sec x + tan x + C . 2 2 cos x
2
例7 求
∫ csc xdx .
1 1 dx dx = ∫ x x sin x 2sin cos 2 2
解（一） ∫ csc xdx = ∫
例9 求
∫ cos 3 x cos 2 xdx .
1 解 cos Acos B = [cos( A− B) + cos( A+ B)], 2 1 cos 3 x cos 2 x = (cos x + cos 5 x ), 2 1 ∫ cos 3 x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5 x )dx 1 1 = sin x + sin 5 x + C . 2 10
1 dx 2 x 1+ 2 a 1 1 x x 1 d = arctan + C . = ∫ 2 a a x a a 1+ a
解
1 dx . 求 ∫ 2 x − 8 x + 25 1 1 ∫ x 2 − 8 x + 25dx = ∫ (x − 4)2 + 9dx
= [∫ f (u)du] (u = ϕ( x))
由此可得换元法定理
可导， 定理7.2.1 定理7.2.1 设 u = ϕ (x)在 [ a , b ] 可导， ϕ( x) ∈[α, β ]，
g(u) 在 [α, β ] 上有原函数 G(u) ，则有换元积分公式
∫ g[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ g(u)du = G(ϕ(x)) +C
解
1 1 1 1 x − 4 d dx = ∫ = 2∫ 2 2 3 x − 4 3 x − 4 3 +1 +1 3 3 1 x−4 = arctan + C. 3 3
例3 求
∫ x sin x dx .
2
2
已知∫ sin udu = − cos u + C
例10 设 f ′(sin 2 x ) = cos 2 x , 求 f ( x ) . 解 令 u = sin 2 x ⇒
cos 2 x = 1 − u,
f ′( u ) = 1 − u ,
1 2 f ( u) = ∫ (1 − u )du = u − u + C , 2 1 2 f ( x) = x − x + C . 2
解
∫
1 x sin x dx = ∫ sin x 2dx 2 2
1 = ∫ sin udu 2 1 = − cos u + C 2 1 = − cos x 2 + C ; 2