1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd(sin x)
sin x2 C;
已知
udu
1 2
u2
C
解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd(cos x)
cos x2 C.
已知
udu
1 2
7.2 不定积分的计算
巴马水具有四个显著特征: 一是弱碱性离子水。 二是还原水。 三是小分子团水。 四是营养水。
1
1、第一换元积分法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
（使用了三角函数恒等变形）
16
解（二） csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
由此可得换元法定理
3
定理7.2.1 设u ( x)在[a,b]可导，(x)[, ]，
g(u) 在[, ]上有原函数G(u) ，则有换元积分公式
g[( x)]( x)dx g(u)du G(( x)) C
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
f [( x)]( x)dx 化为 g(u)du.
1
11
a2
x 2 dx
a2
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
6
求
x2
1 8x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
(
x
1 4)2
dx 9
1 32
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
10
书中例4 求
dx
x2
. 1
1du u
ln
u
C
.
1
1
11 1
解
x2
1
(x
1)( x
1)
[ 2
x
1
x
], 1
dx 1 1 1
x2 1
2
[
x
1
x
]dx 1
1 (ln x 1 ln x 1 ) C 2
1 ln x 1 C. 2 x1
11
求
x(1
1 2ln
dx. x)
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2 ln
d (ln x
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x)
u 1 2ln x
1 2
1 u
du
1 ln u 2
C
1 ln(1 2
2 ln
x)
C.
12
例5 求 sin5 xdx.
解 sin5 xdx sin4 x sin xdx
(sin2 x)2 d(cos x)
u2
C
9
例4
求
3
1 2
dx. x
解 d(3 2x) (3 2x)dx 2dx,
3
1 dx 2x
1 2
1 3 2x
(3
2 x )dx
1 2
3
1 2x
d(3
2x)
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(3 2x) C. 2
一般地
f
(ax
b)dx
1 a
f
(u)du
(其中u ax b)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
3
5
7
14
例6 求
1 cos
x
dx.
解
1 dx cos x
cos cos2
x x
dx
1 1 sin2 x d sin x
1 2
( 1
1 sin
x
1
1 sin
dx
1 cos x sin2 x
dx
1 sin 2
x
dx
1 sin 2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
18
例9 求 cos 3x cos 2xdx.
解 cos Acos B 1[cos( A B) cos( A B)], 2
1
1
u
1
1
u
du
1 ln 1 u C 1 ln 1 cos x C.
2 1u
2 1 cos x
类似地可推出 sec xdx ln(sec x tan x) C.
17
例8 求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1
1 cos x
cos x1 cos
x
dx
1 cos x 1 cos2 x
(1 cos2 x)2 d cos x
(1 2cos2 x cos4 x)d cos x
cos x
2 cos3 x 1 cos5 x
3
5
C.
说明 当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇 次项去凑微分.
13
附例 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x) sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
x
)d
sin
x
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
1 2
ln
(1 sin x)2 cos2 x
C
ln sec x tan x C.
15
例7 求 csc xdx.
解（一）
csc
xdx
1 sin
x
dx
2
sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
7
例3 求 x sin x2dx.
已知 sin udu cos u C
解
x
sin
x2dx
1 2
sin
x 2dx 2
1 2
sin
udu
1 cos u C 2
1 cos x2 C; 2
(u x2)
8
求 sin 2xdx.
解（一）
sin
2
xdx
1 2
sin
2 xd
(2x)
已知 sin udu cos u C
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
2
在一般情况下：
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
如果 u ( x)（可微）
dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
f [( x)]( x)dx F[( x)] C F(u) C
[ f (u)du] (u (x))
左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数.
4
例1 求 3 x 5dx.
已知 u du 1 u 1 C
1
解 3 x 5dx (令u x 5)
1
u3du
34
3
4
u3 C ( x 5)3 C.
4
4
5
例2a21 x2dx.(a
0)
已知
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
解