数学分析，简称数分，主要内容是微积分，是数学专业数学学习的开端，也是通往未来更高等数学的开端。

同样，它是分析方向的基础，学好数学分析非常重要。

数分和中学数学有着非常大的区别，可以说，中学和中学以前的数学，都是在介绍各种运算法则，理论性的东西非常之少。

到了数分上，就有了非常多的理解性东西，虽然某些概念的定义仍然是用数学符号表达，但是要想完全彻底的理解概念，还是要做深入的思考，而不是像中学那样，仅仅是训练公式的熟练度。

对任何一门学科，教材和题集的选取都是至关重要的。

这里说下笔者的体会，华东师大的两本书很适合入门，也是普遍普通数学系的数分教材。

但是数分是很多后面科目的基础，包括后续的分析内容，实复分析，泛函调和分析，还有一些其他分支，例如微分几何，微分方程等等，一本好的数分教材应该稍微涉及到其他数学科目的基本概念。

这里推荐徐森林的《数学分析》。

笔者在自学这套教材之后，发现它和普通数分教材比，有很多优点，列举如下:在讲授单元积分学时，本书通过引入零测集的概念，给出可积的充要条件，这对后续学习测度论有益；在讲授多元极限前，普遍本科生已经熟悉了单元极限，本书在此引入了拓扑学的一些基本概念，拓扑，度量空间，紧致集等，首先把开集推广到一般情况，进而把极限以及连续性推广到一般拓扑空间上，最后将连续性的一些定理推广到了一般拓扑空间上，这样，单元中所接触到的单侧极限，广义极限也仅仅是特例，再讲授多元极限，自然水到渠成；在讲授傅里叶级数时，引入了傅里叶积分和傅里叶变换，它们是调和分析的内容，可以用来计算某些含三角函数的积分的简便公式；在讲授多元积分的三大公式——斯托克斯公式、高斯公式、格林公式时，本书借助微分形式和外微分算子，将他们统一成一个公式，公式的统一既深入理解了三大公式的关系，又对后续学习流形有益。

俄罗斯有一套《数微积分学教程》，国内的很多数分教材都深受本书影响，本书可以说是数分的一本工具书，它含有大量的例题，并且内容非常丰富，包含了很多普遍教材没有的内容，例如绪论的通过证明有理数的不完备性，引入无理数，再证明实数完备性的内容，是大部分数分教材没有篇幅可以介绍的；高阶导数部分介绍埃尔米特差值公式；不定积分处介绍椭圆积分；正项级数的库默尔判别法;函数项级数处的拟一致收敛等等。

但是本书是20世纪初所著的，当时测度论还不完善，所以并不包含比如可积的充要条件为不连续的点是零测集，这样的重要内容。

对有能力的学生，可以选择卢丁(Rudin)的《数学分析原理》，本书是作者卢丁所著的分析三部曲第一本，后两本则是《实分析和复分析》与《泛函分析》。

这本书比上述教材都更有难度，因为它是直接从拓扑角度讲数分的，并且为了和后两本衔接，还引入了基本测度论。

对于有能力的同学不妨一试。

下面说题集。

对于大多数学生，天资并没达到天才的层次，光看教材是不能完全理解理论的，这一点越到后面更难的科目更能体现出来。

应用理论解决问题，是理解理论的重要途径。

但是，如果仅仅是看解答，并不会有太大进步的，经常直接看解答会让你对答案产生依赖，懒惰会让你不再独立思考，这就相当于你是在拄着拐杖走路。

一旦到了需要独立解决问题的时候，就相当于拿走了你的拐杖，这时便很难行走了。

因此，做题时独立思考是非常重要的，可以毫不夸张的说，独立做出一道题，比看十个解答都有用。

这里按难度从易到难，推荐如下题集: 裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》，这本书很适合准备考研；徐森林的《数学分析精选习题全解》这套就是和徐森林的《数学分析》配套的题集，值得一提的是科大的数分教材史济怀和常庚哲合著的《数学分析教程》上大部分有难度的课后习题，都可以在本书中找到解答；周民强《数学分析习题演练》，这一套很有难度，事实上大多题目来自W.J.Kaczor和M.T.Nowak所著的三本题集《Problems in Mathematical Analysis》；Poyla的《数学分析中的问题和定理》，Polya大师的这一套虽然是题集，但是观点非常高，可以说是数分难题的顶峰，借助问题来引出各种定理和技巧。

最后推荐的这本书，笔者认为是学习数学分析的必读书目，但是笔者发现很难将它分在教材还是题集中，因此放在最后介绍，这套书叫谢慧民等著的《数学分析习题课讲义》，分上下两册，可以算作带有题集的学习辅导书。

大部分学习辅导书，都是通过重述定理定义内容以及题目和解答来"讲"概念和定理的，本书却大篇幅的具体讲述各种定理该如何理解，一些相似概念的区别和联系，说它是难得的一套从浅如深理解数分的好书绝不为过。

每一章最后，都有参考题，难度适中，缺点是题目没有给出解答或提示，这对初学者来说十分不方便。

自己看书做题是一方面，和他人讨论是更好的学习方式。

可以参加学校组织的或者个人组织的研讨班，包括讨论定理或概念该如何理解，自己遇到困难的题目有哪些思路。

还可以在一些数学网站上讨论数学，在较正规的数学网站上发言，往往需要LaTeX 打公式，有兴趣的学生可以自学下，并不是很难。

最后笔者推荐几个数学网站。

这是博士数学论坛()，是国内最专业的数学网站，有很多高校的数学高手和数学系老师常驻。

SE数学版()}这是国内外比较火的数学网站，它是MO()下的网站，后者是研究级别的数学网站，包括陶哲轩在内的很多数学家都在上面讨论。

SE是为了保证后者讨论质量而建立的适合本科生讨论问题的网站(实际上SE接受任何水平的数学问题——哆嗒数学网注)，可惜数分模块中的问题更多的是计算，理论性不多。

还有是罗马尼亚的"解题的艺术"网站()的数分模块。

在Princeton教了两年书，总会在有意无意中比较中国和这里的本科教学。

比起国内的大多数高校，这里的教学时间可谓真的很短。

像我教的线性代数（主要面向物理系或是计算机系，也有少部分是数学系的人），一个学期就要讲完从线性方程到Jordan标准型的所有内容。

而一个学期只有12周，每周3个小时！而另一门基础课《多元微积分》的情况也差不多。

很多时候，一些定理的证明根本没有时间讲，即使讲了学生也还是不懂。

后来发现，其实真的不需要讲这么细，因为如果有本不错的教材的话，上面都会写，课堂上只用提到一些大概的关键就好了。

另一个有意思的事情是，我刚开始在这里教书的时候就被告知，所有在课堂上讲的例子都不能是从课本上的，因为学生可以自己看。

在国内数学系通常要教3个学期的数学分析（国内每学期除去考试，大概是18周，每周至少4个小时），在这里的教法也很奇怪。

由于刚开始大一的时候是不分专业的，所有的人都要只学微积分。

但是区别在于，数学系会同时开不同程度的微积分，对数学感兴趣的人会选难一点的课程。

但就像上面说的，由于时间很短，根本不能指望学生把所有的细节都弄明白。

然后如果要选数学专业的话，学生会被要求至少上一门实分析，一门复分析，这才真正接触一些分析当中的证明，当然一门课仍然只有12周，每周3个小时。

我刚开始的时候真是觉得有点不明白，为什么这里的本科生刚来的时候感觉整体上不怎么样，教学时间也很短，但到了毕业的时候总有几个特别优秀的学生，让人觉得不可思议。

后来仔细分析起来，原因可能是这样，虽然基础课的时间短，要求也不高，但是系里面会开很多更“高级”一点的选修课程，从代数、分析、拓扑、方程、微分几何到概率、随机、编码、图论、计算，其中必修的课程除了上面提到的实分析和复分析之外，还要选一门代数，其他的学生都可以根据自己的兴趣自由选择。

再加上教课都是这些领域里面很牛的教授，他们会根据自己的兴趣选择最有用的部分教给学生。

而对于此前可能因为教学时间很短而囫囵吞枣的基础课程，学生也能够因为在更高级的课程里面的反复应用而加深理解。

另外，系里面对Seminar课程很重视。

在Seminar课程上，学生会组织起来一起读一些文献，真正开始思考数学问题。

这样，较短的课程教学时间反而有利于学生自主的学习，而且学得很快。

不过，这里最难得的是有这些教授们给出本科生能够理解，在数学上又有意义的问题让学生讨论。

到了真正做本科论文的时候，有了前面的积累，资质很好的学生能够真正解决一些问题，也就不难理解。

最后，他们评价本科生，最主要的也并不是完全看这个学生修了多少课，考了多少分；而是看有没有真正解决问题的能力。

当然，能做好论文的学生，考试成绩也不会差到哪里去，但往往不是最高分。

国内的数学系真应该好好反思一下，是不是真的有必要开这么多的必修课，和花这么多的时间在所谓的基础课上。

一些必修的基础课，感觉根本就是重复设置。

学生的自主权很小，每个人都要花很多时间去应付一些自己不喜欢，而又一辈子都不会用到的必修课。

而过于强调扎实基础，把经典的、已知的东西抠得很细，却不知道什么是真正重要的未知问题；能懂得抽象的理论证明，却不知道怎么处理具体的例子；也许能把别人的东西学懂，却不知道如何创造。

在评价学生学业的时候，以精确的考试成绩作为最重要甚至是唯一的标准，这在管理者看来也许是最简单的方式，其实也是最粗暴的方式。

本来最能体现理解问题和解决问题的综合能力的本科论文流于形式，有时连形式都没有。

也许在国内有些教授的心里，其实压根就不相信本科生真的能做出什么东西来吧。

《宏观经济》：告诉我们经济是具有周期性的，无论是资本主义市场还是特色主义，绝大多数你现在看起来牛逼的人都是在经济上升周期投机、勤劳发家致富的。

《微观经济》：告诉我们给老板给公司打工取得工资的实质是我们出让了我们脑力和体力的机会成本，垄断系统的铁饭碗没啥好议论的他们就是传说中的利益集团。

《会计学》：告诉我们一般涉及到现金流的计算、都会考虑到货币的时间价值，也就是“复利”、复利实质上是一种指数函数、它的特征是你向高利贷借1000块钱，50年后你卖老婆孩子都不一定能还的完。

也不要随便说10年前房价才2000块一平、十年期你的工资可有2000块呢。

《管理学》：告诉我们当喜马拉雅山被发现山谷里全是金矿的时候，你应该做的是在山谷旁边卖牛仔裤、铁锹，而不是去淘金。

《金融学》：告诉我们世界上90%企业的命运都被银行攥在手心里。

另外改变人类的不是火的使用也不是文字。

是金融和金融思维。

《保险学》：告诉我们一：保险对每个人都真的很重要。

二：即使学完了保险课程，你还是玩不过那帮卖保险的。

《证券投资学》：告诉我们一夜暴富不是没有可能。

有人成功过，还不止一个，更重要的是即使此时此刻也有人在证券市场上一秒获利百万。

为此，我们要有梦想，对财富的梦想！《金融工程》：告诉我们卖煎饼果子的摊主也应该学金融，因为对面粉和鸡蛋价格波动的掌握直接影响成本，如果你的煎饼摊考虑开分店，你就要考虑套期保值了！另外一点就是金融是数学家获诺贝尔经济学奖的一个捷径！《公司金融》：告诉我们一个富人，口袋里没钱的单独待在一个地方超过一天他就饿了，超过10天他就死了。