第七章 参数估计习题参考答案1．设,0()0, 0x e x f x x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求θ的矩估计。
解 ,0dx xe EX x ⎰+∞-=θθ设du dx u x x u θθθ1,1,===则000111()0()u uu EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞--+∞⎡⎤⎡⎤==-+=+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰=θ1故1EXθ=，所以x 1ˆ=θ。
2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。
解 由均匀分布的数学期望和方差知1()()2E X a b =+ （1）21()()12D X b a =- （2）由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2)22(121a EX DX -=， 整理得2)(31a EX DX -=，解得()()a E X b E X ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故得b a ,的矩估计为ˆˆax b x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩其中∑=-=ni i x x n 122)(1ˆσ。
3．设总体X 的密度函数为(;)!x e f x x θθθ-=，求θ的最大似然估计。
解 设)!)...(!)(!(),()(2111nn x ni i x x x e x f L ni iθθθθ-=∑===∏，则11ln ()()ln ln(!)n ni i i i L x n x θθθ===--∑∑11ln ()11ˆ0, n ni i i i d L x n x x d n θθθθ===-===∑∑ 4．设总体X 的密度函数为,其中 (θ＞0), 求θ的极大似然估计量.解. 设(X 1, X 2,…, X n )是来自X 的一样本. 由极大似然估计原理,参数θ的似然函数为:,上式两边取对数似然方程为解似然方程得θ的极大似然估计量是 .5.设总体X 的密度函数1(,)()(aa x f x a x e a θθθ--=已知），求参数θ的最大似然估计。
解 11121()(,)(...)nai i n x n n a i n i L f x a x x x eθθθθ=--=∑==∏11ln ()ln ln (1)ln nna i i i i L n n a a x x θθθ===++--∑∑1ln ()0n ai i d L n x d θθθ==-=∑ 解得 ∑==n i ai x n 11θ。
6．设总体X 的密度函数为,求α的极大似然估计量和矩估计量.解. 设(X 1, X 2,…, X n )是来自X 的样本. (1)由矩估计法,∴.即参数α的矩估计量是.(2) 由极大似然估计原理, 参数α的似然函数为,上式两边取对数,似然方程为,解似然方程得到参数α的极大似然估计量是.7. 设1ˆθ和2ˆθ为参数θ的两个独立的无偏估计量，且假定21ˆ2ˆθθD D =，求常数c 和d ，使21ˆˆˆθθθd c +=为θ的无偏估计，并使方差θˆD 最小。
解 由于θθθθθθ)(ˆˆ)ˆˆ(ˆ2121d c dE cE d c E E +=+=+=,且知θθ=ˆE ，故得c+d=1。
又由于2222222221221ˆ)2(ˆˆ2ˆˆ)ˆˆ(ˆθθθθθθθθD d c D d D c D d D c d c D D +=+=+=+= 并使其最小，即使222d c f +=，满足条件c+d=1的最小值。
令d=1-c ，代入得22)1(2c c f -+=，'42(1)0, 620c f c c c =--=-=解得321,31=-==c d c 。
8．对方差2σ为已知的正态总体来说，问需取容量n 为多大的样本，才能使总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间的长度不大于L解 由于μ的置信区间为),(22αασσu nx u nx +-，故μ的置信区间长度为L u n≤22ασ。
所以，有202ασu L n ≥，即220)2(ασu L n ≥。
9. 设某电子元件的寿命服从正态分布),(2σμN ，抽样检查10个元件，得样本均值)(1200h x =，样本标准差)(14h s =。
求(1) 总体均值μ置信水平为%99的置信区间；(2) 用x 作为μ的估计值，求绝对误差值不大于10（h ）的概率。
解 (1)由于σ未知，s=14（h ）,根据求置信区间的公式得 ))1(),1((22-+--n t n s x n t n s x αα ))9(10141200),9(10141200(005.0005.0t t +-查表得25.3)9(005.0=t ，故总体均值μ置信水平为%99的置信区间为(120014.388, 120014.388)(1185.612, 1214.388)-+=(2))141010)1(()10()10(<-=<-=<-n t P ns n x P x P μμ=-=<≈<=α21))9()9(()2588.2)9((025.0t t P t P =10. 设n X X X ,...,,21为正态总体),(2σμN 的一个样本，确定常数c 的值，使2111)(∑-=+-=n i i i x x c Q 为2σ的无偏估计。
解])()()(2)([])())((2)[()]()[()(21112121112121112111μμμμμμμμμμ-+----=-+----=---=-=∑∑∑∑-=++-=++-=+-=+i n i i i i i n i i i i n i i i n i i i x E x E x E x E c x x x x E c x x E c x x c EQ由于0)(=-=-=-μμμμi i Ex x E ，所以有2112111)1(2)2(]0[σσ-==+-=∑∑-=-=+n c c Dx Dx c EQ n i n i i i由2σ=EQ （无偏性），故有1)1(2=-n c ，所以)1(21-=n c 。
11. 为了解灯泡使用时数均值μ及标准差σ，测量了10个灯泡，得1650=x 小时，20s =小时。
如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求μ和σ的95%的置信区间。
解 由262.2)9()1(025.02==-t n t α，根据求置信区间的公式得22((1), (1))(165020)(165014.31)(1635.69, 1664.31)x n x n αα--==±= 查表知70.2)9()1(,023.19)9()1(2975.02212025.022==-==--χχχχααn n ，根据求置信区间的公式得2σ的置信区间为2222220.0250.975(1)(1)920920(, )(, )(189.24, 1333.33)(9)(9)19.023 2.70n s n s χχ--⨯⨯==而σ的置信区间为(13.8, 36.5)=12. 岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得2.0=s ，求2σ的置信区间()1.0=α。
解 查表得575.4)11(,675.19)11(295.0205.0==χχ，根据求置信区间的公式得2σ的置信区间为222222122(1)(1)110.2110.2(, )(, )(1)(1)19.675 4.575n s n s n n ααχχ---⨯⨯=--=(0.02, 0.10)13 . 设两位化验员A 、B 分别独立地对某种化合物各作10次测定，测定值的样本方差分别为220.5419, 0.6065ABs s ==。
设两个总体均为正态分布，求方差比22BAσσ的置信度为95%的置信区间。
解 查表得2481.003.41)9.9(1)9.9(,03.4)9.9()9.9(221025.02=====-αααF FF F ，根据求置信区间的公式得22BAσσ的置信区间为222222220.0250.975111(, )(, 4.03)(0.222, 3.601)(9.9)(9.9) 4.03A A A A B B B Bs s s s s F s F s s ==14．某种袋装食品的重量服从正态分布.某一天随机地抽取9袋检验,重量(单位:g)为510 485 505 505 490 495 520 515 490(1) 若已知总体方差σ2=,求μ的置信度为90%的置信区间; (2) 若已知总体方差未知,求μ的置信度为95%的置信区间. 解. 设随机变量X 表示此种袋装食品的重量.(1) 由已知得n=9 ,α=,,由于X～N(μ, , 可推得～N(0, 1),因此由得到Φ(Uα/2)- Φ(-Uα/2)=即Φ=查表得 = 所以μ的90%的置信区间为.(2) 由已知得n=9 , α=,由于总体方差未知,选取统计量～t(n-1).查表得到tα/2(n-1)=(9-1)=,并且计算,所以μ的95%的置信区间为15. 为了估计在报纸上做一次广告的平均费用,抽出了20家报社作随机样本,样本的均值和标准差分别为575(元)和120(元),假定广告费用近似服从正态分布,求总体均值的95%的置信区间.解. 设随机变量X 表示做广告的费用.则 X ～N (μ, σ2) 总体方差σ2未知, 选取统计量～t (n -1)又已知 n =20 , α= , , s =120查表得到 t α/2(n -1)=(20-1)=, 所以μ的95%的置信区间为.16. 某厂分别从两条流水生产线上抽取样本：1212,,,X X X 及1217,,,Y Y Y ，测得6.10=X （克），5.9=Y （克），22122.4, 4.7s s ==。
设两个正态总体的均值分别为1μ和2μ，且有相同方差，试求1μ-2μ的置信度95%的置信区间。
解 由763.3217127.4164.2112)1()1(212222112=-+⨯+⨯=-+-+-=n n s n s n s ，得94.1763.3==s 。
查表得(2αt 221-+n n ）=0518.2)27(025.0=t ，1.15.96.10=-=-Y X （克），故50.117112194.10518.211)27(21025.0≈+⨯=+n n st 根据求置信区间的公式得1μ-2μ的置信度95%的置信区间为(X Y -±21025.011)27(n n st +）)60.2,40.0()50.11.1(-=±=。