501第五章 线性系统的频域分析法5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为)](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。

证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ，根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。

5-2 若系统的单位阶跃响应t t e e t c 948.08.11)(--+-=，试确定系统的频率特性。

解：s s s s C 1361336)(2++=，361336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=；2/122/12)81()16(36|)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。

或：)(2.7)()(94t t e e t ct g ---== ；361336)]([)(2++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号)452cos()30sin()(--+=t t t r作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。

解：21)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()(+-+=t t t r6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ；7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。

5-4 典型二阶系统的开环传递函数)2()(2n ns s s G ωζω+=， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为)45sin(2)( -=t t c ss ，试确定系统参数n ω和ζ。

解：2222)(nn ns s s ωζωω++=Φ； 1]4)1[(22222=+-n n nωζωω，4512arctan2-=--n n ωζω； 122-=n n ωζω，答案：414.12==n ω，3536.04/2==ζ。

5025-5 已知系统开环传递函数)1()1()(2++=Ts s s K s G τ，0,,>T K τ， 试分析并绘制T >τ和τ>T 情况下的概略幅相曲线。

解：其中2/12231)(2-+=ττT K A ；T K A ττ=2；2/1223)(τ+=T KT A ；)/arctan(451τφT -= ；]))((5.0arctan[2/1--=T T m ττφ；参考：ωτωωωωτωωωτωωτωωω)()1()()1()1()1()1()(2022222222-+-+-++--=+-+=⇒→T K j K T T K j T T K jT j K j G 。

5-6 已知系统开环传递函数)2)(1(1)(++=s s s s G v， 试分别绘制4,3,2,1=v 时的概略开环幅相曲线。

解：∞=|)0(|j G ， 90)0(⨯-=∠v j G ；0|)(|=∞j G ， 90)2()(⨯+-=∞∠v j G ；2/122/12)4()1(|)(|---++=ωωωωv j G 和ωωω5.0arctan arctan 90)(--⨯-=∠ v j G 都是递减函数。

所有幅相曲线的终止相角均小于起始相角180o ，以 90)2(⨯+-v 趋于原点。

当1=v 时，有22=x ω，204.0|)(|=x j G ω，与负实轴有交点)0,204.0(j -。

5-7已知系统开环传递函数)1()1()(12++-=s T s s T Ks G ，0,,21>T T K ，当取1=ω时， 180)(-=∠ωj G ，5.0|)(|=ωj G 。

当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差为 0.1。

试写出)(ωj G 的表达式。

解：据题义有下列结果，50310=K ； 180arctan 90arctan 12-=---T T ；2/1212/122)1(5.0)1(10T T +=+；90)]1/()arctan[(2121=-+T T T T ，121=T T ；201=T ，05.02=T 。

所求的表达式为 )201()05.01(10)(ωωωωj j j j G +-=。

5-8 已知系统开环传递函数)15.0)(12(10)(2+++=s s s s s G ， 试分别计算5.0=ω和2=ω时，开环频率特性的幅值|)(|ωj G 和相位)(ωj G ∠。

解：5.0=ω，89.17791.0414.15.010|)(|=⨯⨯=ωj G ， 4.1534.184590)(-=---=∠ωj G ；2=ω，383.0162.3123.4210|)(|=⨯⨯=ωj G ， 6.3274.181800.7690)(-=+---=∠ωj G 。

5-9 已知系统开环传递函数)125.0)(1(10)(2++=s s s s G ， 试绘制系统的概略开环幅相曲线。

解：{参考：5.22)(2+⇒→ωωj j G }5-10 已知系统开环传递函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=131911211)(2s s s s s s G ，选择频率点，列表计算对应的幅值与相位，绘制对数幅频特性曲线和相频特性曲线。

解：(过于烦琐，绘制渐近幅频特性)5045-11 绘制下列开环传递函数的对数渐近幅频特性曲线：(1))18)(12(2)(++=s s s G ；(2))110)(1(200)(2++=s s s s G ； (3))12/)(1()11.0/(8)(2++++=s s s s s s G ； (4))11.0/)(1()110/400/(10)(2++++=s s s s s s G 。

解：(1) 125.01=ω，5.02=ω； (2) 1.01=ω，12=ω；(3) 1.01=ω，12=ω，23=ω； (4) 1.01=ω，12=ω，203=ω；5-12 已知最小相位系统的对数渐近幅频特性如下试确定系统的开环传递函数。

解：(a) )1)(1()1()(312+++=s T s T s T K s G ；01.01003==T K ，1001.012==T T ；)101.0)(1100()11.0(100)(+++=s s s s G 。

(b) )1()1()(221++=s T s s T K s G ；101001==ωK ,101002=ω，00316.0316.021==T T ；)100316.0()1316.0(100)(2++=s s s s G 。

(c) )1)(12()(212212+++=s T s T s T Ks s G ζ；05.010==ζK ，1.0121==T T ；)11.0)(11.0(10)(22+++=s s s s s G 。

5055-13 试用Nyquist 稳定判据判断题5-5、5-6系统的稳定性。

解：题5-5中，0=P ；T >τ时，Nyquist 曲线ΓG 不包围临界点，系统稳定； τ>T 时， Nyquist 曲线ΓG 包围临界点，系统不稳定。

题5-6中，0=P ；1=v 时， Nyquist 曲线ΓG 不包围临界点，系统稳定； 4,3,2=v 时， Nyquist 曲线ΓG 包围临界点，系统不稳定。

5-14 已知下列系统的开环传递函数(所有参数均大于0)(1) )1)(1)(1()(321+++=s T s T s T K s G ； (2) )1)(1()(21++=s T s T s Ks G ；(3) )1()(2+=Ts s Ks G ； (4) )1()1()(221++=s T s s T K s G ；(5) 3)(sKs G =； (7) )1)(1)(1)(1()1)(1()(432165++++++=s T s T s T s T s s T s T K s G ；(6) 321)1)(1()(ss T s T K s G ++=； (8) 1)(-=Ts Ks G ； (9) 1)(+--=Ts Ks G ；(10) )1()(-=Ts s Ks G 。

及其对应的幅相曲线分别如下图所示，应用Nyquist 稳定判据判断各系统的稳定性，若闭环系统不稳定指出系统在S 平面右半部的闭环极点数。

解：(1)0=P ，2-=R ，2=Z ； 不稳定；(2)0=P ，0=R ； 稳定； (3)0=P ，2=R ，2=Z ； 不稳定； (4)0=P ，0=R ； 稳定； (5)0=P ，2-=R ，2=Z ； 不稳定； (6)0=P ，0=R ； 稳定； (7)0=P ，0=R ；稳定； (8)1=P ，1=R ；稳定；(9)1=P ，0=R ，1=Z ；不稳定；(10)1=P ，1-=R ，2=Z ； 不稳定。

注：第(6)小题的幅相曲线未包围临界点。

应用劳斯稳定判据能够说明闭环系统是稳定的：图中)(ωj G 曲线与负实轴交点处2/1211)(-=T T ω，且1|)(|1>ωj G ，得到1)(2121>+T T T KT 。

5-15 试用Nyquist 稳定判据判断题5-9系统的稳定性。

解：0=P ，2-=R ，闭环系统不稳定。

5-16 已知系统开环传递函数)1)(1()(++=s Ts s Ks G ，0,>T K ，506试用Nyquist 稳定判据判断系统闭环稳定条件：(1)2=T 时，K 值的范围； (2)10=K 时，T 值的范围； (3)K 、T 值的范围。

解：(计算)(ωj G 与虚轴的交点是解该题的要点，即计算临界稳定条件)180arctan arctan 90)(-=---=∠x x x T j G ωωω，1|)(|=x j G ω；2/1-=T x ω，1)1/(=+T KT ；(1)2=T 时，5.10<<K ； (2)10=K 时，9/10<<T ； (3)T T K /)1(0+<<。

5-17 试用对数稳定判据判定题5-10系统的闭环稳定性。

解：采用对数频率稳定判据判，0=P ，且在0|)(|log 20>ωj G 区，相频曲线未穿越180-线，闭环系统稳定。