单元5 剪切与扭转变形时的承载力计算【学习目标】1.能深入理解剪切和挤压的概念；2.能进行剪应力和压应力的计算和校核；3.能灵活运用剪切虎克定律公式和剪应力互等定理；4.能深入理解圆轴的扭矩的概念和公式；5.能进行圆轴圆轴扭转强度计算，最大剪应力；5.1 剪切与挤压变形实例5.1.1剪切的概念它是指杆件受到一对垂直于杆轴方向的大小相等、方向相反、作用线相距很近的外力作用所引起的变形，如铆钉连接中的铆钉及销轴连接中的销等都是心剪切变形为主要变形的构件。

图5.1如图所示。

此时，截面cd相对于动将发生相对ab错动，即剪切变形。

若变形过大，杆件将在两个外力作用面之间的某一截面m—m处被剪断，被剪断的截面称为剪切面，如图5.1所示。

5.1.2挤压的概念构件在受剪切的同时，在两构件的接触面上，因互相压紧会产生局部受压,称为挤压。

图5.2如图5.2所示的铆钉连接中，作用在钢板上的拉力F，通过钢板与铆钉的接触面传递给铆钉，接触面上就产生了挤压。

两构件的接触面称为挤压面，作用于接触面的压力称挤压力，挤压面上的压应力称挤压应力，当挤压力过大时，孔壁边缘将受压起“皱”，铆钉局部压“扁”，使圆孔变成椭圆，连接松动，这就是挤压破坏。

因此，连接件除剪切强度需计算外，还要进行挤压强度计算。

图5.35.2 铆接或螺栓连接实用计算（剪切与挤压的实用计算）5.2.1剪切的实用计算剪切面上的内力可用截面法求得。

图5.4假想将铆钉沿剪切面截开分为上下两部分，任取其中一部分为研究对象，由平衡条件可知，剪切面上的内力Ｑ必然与外力方向相反，大小由∑Ｘ＝０，Ｆ－Ｑ＝０，得：Ｑ＝Ｆ这种平行于截面的内力Ｑ称为剪力。

与剪力Ｑ相应，在剪切面上有剪应力η存在。

剪应力在剪切面上的分布情况十分复杂，工程上通常采用一种以试验及经验为基础的实用计算方法来计算，假定剪切面上的剪应力η是均匀分布的。

因此：Ｑη＝―Ａ式中Ａ——剪切面面积；Ｑ——剪切面上的剪力。

为保证构件不发生剪切破坏，就要求剪切面上的平均剪应力不超过材料的许用剪应力，即剪切时的强度条件为：Ｑη＝―≤［η］（ 5.1 ）Ａ式中［η］——许用剪应力，许用剪应力由剪切试验测定。

各种材料的许用剪应力可在有关手册中查得。

5.2.2挤压的实用计算挤压应力在挤压面上的分布也很复杂。

因此也采用实用计算法，假定在挤压面上的挤压应力ζc 是均匀地分布，因此：Ｆcζc＝－（ 5.2 ）Ａc式中Fc——挤压面上的挤压力；Ac——挤压面的计算面积。

【例5-1】图示一铆钉连接件，受轴向拉力F作用。

已知：F=100kN,钢板厚δ＝８mm,宽＝100mm,铆钉直径d＝16mm,许用剪应力［η］＝140MPa,许用挤压应力［ζc］＝340MPa,钢板许用拉应力［ζ］＝170MPa.试校核该连接件的强度。

【解】连接件存在三种破坏的可能：①铆钉被剪断;②铆钉或钢板发生挤压破坏;③钢板由于钻孔，断面受到削弱，在削弱截面处被拉断。

要使连接安全可靠，必须同时满足以上三方面的强度条件。

图5.6（１）铆钉的剪切强度积极条件连接件有n个直径相同的铆钉时，且对称于外力作用线布置，则可设各铆钉所爱的力相等：现取一个铆钉作为计算对象，画出其受力图,每个铆钉所受的作用力：剪切面上的剪力：Ｑ＝Ｆ１得：所以铆钉满足剪切强度条件。

(2)挤压强度校核每个铆钉所受的挤压力得：所以连接件满足挤压强度条件。

(3)板的抗拉强度校核两块钢板的受力情况及开孔情况相同，只要校核其中一块即可。

现取下面一块钢板为对究对象，画出其受力图和轴力图。

截面1—1和3—3的净面积相同，而截面3—3的轴力较小，故截面 3—3不是危险截面。

截面2—2的轴力虽比截面1—1小，但净面积也小,故需对截面1--1和2—2进行强度校核。

所以钢板满足抗拉强度条件。

经以上三方面的校核，该连接件满足强度要求。

5.3 剪切的应力--应变关系5.3.1剪切虎克定律杆件发生剪切变形时，杆内与外力平行的截面就会产生相对错动。

在杆件受剪部位中的某点取一微小的正六面体(单元体)，把它放大，如图所示。

剪切变形时，在剪应力作用下，截面发生相对滑动，致使正六面体变为斜平行六面体。

原来的直角有了微小的变化，这个直角的改变量称为剪应变，用γ表示，它的单位是弧度(rad)。

η与γ关系，如同ζ与ε一样。

实验证明：当剪应力η不超过材料的比例极限ηb时，剪应力与剪应变成正比，如图所示，即：图5.7（5.3）式称为剪切虎克定律。

式中G称为材料的剪切弹性模量，它是表示材料抵抗剪切变形能力的物理量，其单位与应力相同，常采用GPa。

各种材料的G值均由实验测定。

钢材的G值约为80GPa。

G值越大，表示材料抵抗剪切变形的能力越强，它是材料的弹性指标之一。

对于各向同性的材料，其弹性模量E、剪变模量G和泊松比μ三者之间的关系为：（5.4）5.3.2剪应力互等定理设单元体的边长分别为如dx、dy、dz，如图5-8所示。

已知单元体左右两侧面上，无正应力，只有剪应力η。

这两个面上的剪应力数值相等，但方向相反。

于是这两个面上的剪力组成一个力偶，其力偶矩为(ηdzdy)dx。

单元体的前、后两个面上无任何应力。

因为单元体是平衡的，所以它的上、下两个面上必存在大小相等、方向相反的剪应力η，它们组成的力偶距为（η,dzdy）dy,应与左、右面上的力偶平衡，即：（η,dzdy）dy＝(ηdzdy)dx由此可得：η′＝η图 5.85.4 受扭构件的内力和内力图5.4.1扭转的概念在垂直于杆件轴线的两个平面内，作用一对大小相等、方向相反的力偶时，杆件就会产生扭转变形。

扭转变形的特点是各横截面绕杆的轴线发生相对转动。

我们将杆件任意两横截面之间相对转过的角度θ称为扭转角，如图5-9所示。

例如图5-9所示。

工程中将以扭转变形为主的杆件称为轴。

这里只介绍圆轴扭转时的强度计算。

图5.95.4.2圆轴扭转时的内力——扭矩；1、扭矩的概念在对圆轴进行强度计算之前先要计算出圆轴横截面上的内力——扭矩.扭矩图所示圆轴，在垂直于轴线的两个平面内，受一对外力偶矩Me作用，现求任一截面m—m的内力。

求内力的基本方法仍是截面法，用一个假想横截面在轴的任意位置优m—m处将轴截开，取左段为研究对象，如图所示。

由于左端作用一个外力偶Me作用，为了保持左段轴的平衡，左截面m—m的平面内，必然存在一个与外力偶相平衡的内力偶，其内力偶矩Mn称为扭矩，大小由∑Mx=0，得：（5.5）图5.10扭矩的单位与力矩相同，常用N·m或kN·m。

2．扭矩正负号规定为了使由截面的左、右两段轴求得的扭矩具有相同的正负号，对扭矩的正、负作如下规定：采用右手螺旋法则，以右手四指表示扭矩的转向，当拇指的指向与截面外法线方向一致时，扭矩为正号；反之为负号。

如图5-11所示。

图5.115.5 受扭构件的应力及其强度计算5.5.1受扭构件的应力经过理论研究得知，圆轴扭转时横截面上任意点只存在着剪应力，其剪应力的大小与横截面上的扭矩M。

及要求剪应力点到圆心的距离(半径)ρ点成正比，剪应力的方向垂直于半径，其计算公式为：（5.6）式中Ｉp ——截面对形心的极惯性矩，它是一个与截面形状和尺寸有关的几何量，其定义为：（5.7）实心圆轴截面的极惯性矩为：（5.8）图5.12式中Ｉp 的常用单位为m4或mm4；D、d分别表示外径和内径。

可以看出，在同一截面上剪应力沿半径方向呈直线变化，同一圆周上各点剪应力相等.5.5.2受扭构件的强度计算5.5.2.1圆轴扭转时的强度计算1、最大剪应力最大剪应力ηmax 发生在最外圆周处，即在ρmax处。

于是：（5.9）式中Wp——抗扭截面系数，其单位为 m3 或mm3 。

对于实心圆截面和空心圆截面2、圆轴扭转时的强度条件为了保证轴的正常工作，轴内最大剪应力不应超过材料的许用剪应力[η]，所以圆轴扭转时的强度条件为：（5.10）式中[η]——材料的许用剪应力，各种材料的许用剪应力可查阅有关手册。

3、圆轴扭转时的强度计算根据强度条件，可以对轴进行三方面计算，即强度校核、设计截面和确定许用荷截。

【例5-2】图示一钢制圆轴，受一对外力偶的作用，其力偶矩Me=2.5 kN·m，已知轴的直径d=60mm，许用剪应力[ην]=60MPa。

试对该轴进行强度校核。

【解】(1)计算扭矩MnMn=Me图5.13(2)校核强度圆轴受扭时最大剪应力发生在横截面的边缘上，计算，得故轴满足强度要求。

5.6 受扭构件的变形计算和刚度校核5.6.1受扭构件的变形计算扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。

对于圆轴，由式所以，对于等直圆轴（5.11）式中称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。

越大，则扭转角越小。

让=，为单位长度相对扭角，则有（rad/m）5.6.2受扭构件的变形计算1、扭转的刚度条件扭转的刚度条件：（rad/m）（5.12）或(°/m）（5.13）【例5-3】如图5.14的传动轴，r/min，马力，马力，马力，已知MPa，°/m，GPa。

求：确定AB和BC段直径【解】（1）计算外力偶矩图5-14（N·m）（N·m）（N·m）（2）计算直径AB段：由强度条件，（mm）由刚度条件（mm）取mm 作扭矩图，如图5-14所示。

BC段：同理，由扭转强度条件得mm由扭转刚度条件得mm取mm。