备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题02函数A辑历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=5−4x+x22−x在(－∞，2)上的最小值是( ) A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】当x<2时2−x>0，因此f(x)=1+(4−4x+x 2)2−x =12−x+(2−x)⩾2⋅√12−x⋅(2−x)=2，当且仅当12−x=2−x时取得等号.而此方程有解x=1∈(－∞，2)，因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2.故选C．2．【2006高中数学联赛（第01试）】设log x(2x2+x−1)>log x2−1，则x的取值范围为( )A．12<x<1B．x>12且x≠1C．x>1D．0<x<1【答案】B【解析】因为{x>0,x≠12x2+x−1>0，解得x>12,x≠1，由log x(2x2+x−1)>log x2−1，所以log x(2x3+x2−x)>log x2，则{0<x<12x3+x2−x<2，解得0<x<1或{x>12x3+x2−x>2，解得x>1.所以x的取值范围为x>12且x≠1.故选B．3．【2006高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x3+log2(x+√x2+1)，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f (b)⩾0的( )A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】显然f(x)=x3+log2(x+√x2+1)为奇函数，且单调递增.于是，若a+b⩾0，则a⩾−b，有f(a)⩾f(−b)，即f(a)⩾−f(b)，从而有f(a)+f(b)⩾0.反之，若f(a)+f(b)⩾0，则f(a)⩾−f(b)=f(−b)，推出a⩾−b，即a+b⩾0.故选A．4．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=log12(x2−2x−3)的单调递增区间是( )A．(−∞,−1)B．(−∞,1)C．(1,+∞)D．(3,+∞)【答案】A【解析】由x2−2x−3=(x+1)(x−3)>0有x<－1或x>3.故函数log12(x2−2x−3)的定义域为x<－1或x>3.又因为u=x2−2x−3在(－∞，－1)内单调递减，在(3，+∞)内单调递增.而log12u在(0，+∞)上单调递减，所以log12(x2−2x−3)在(－∞，－1)单调递增，故选A.5．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=x1−2x −x2( )A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数【答案】A【解析】函数f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为f(−x)=−x1−2−x−−x2=−x2x2x−1+x2=x+x(2x−1)1−2x+x2=x1−2x −x+x2=x1−2x−x2=f(x).所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A.6．【2000高中数学联赛（第01试）】给定正数p，q，a，b，c其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程bx2－2ax+c=0( )A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根【答案】A【解析】解法一由各选择支确定且互不相容，可以用特值检验法.取等比数列1，2，4，等差数列1，2，3，4，符合题设，则方程是−2x2−4x+3=0，有Δ<0.故选：A.解法二依题意a2=pq，设等差数列p，b，c，q的公差为d≠0，Δ=4a2−4bc，由a2−bc=pq−(p+d)(q−d)=pd−qd+d2=(−3d)d+d2=−2d2<0可得Δ<0，故选：A.7．【1999高中数学联赛（第01试）】若(log23)x−(log53)x⩾(log23)−y−(log53)−y，则( )A．x−y⩾0B．x+y⩾0C．x−y≤0D．x+y⩽0【答案】B【解析】记f(t)=(log23)t−(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数.原不等式即f(x)⩾f(−y)，故x⩾−y，即x+y⩾0.引申问题虽然简单，但我们可以挖掘一些东西，这样我们才会提高.该问题的解决得力于以下常被称作“整数离散性”的常识：如果有两个整数a，b，a<b，则a≤b－1.别小看这么简单的性质，它的作用可不小.以下一道难题的解决就很需要它：设a，b，c，d是自然数，满足a+c<n,ab +cd<1，证明ab+cd<1−1n3.值得一提的是，很多困难的数论和组合问题的解决利用的恰恰是一些很简单的性质.8．【1998高中数学联赛（第01试）】若a>1，b>1且1g(a+b)=lga+lgb，则1g(a－1)+1g(b－1)的值( )A．等于l g2B．等于1C．等于0D．不是与a，b无关的常数【答案】C【解析】因为lg(a+b)=lga+lgb，所以a+b=ab，即(a−1)(b−1)=1，因此lg(a−1)+lg(b−1)=0.9．【1996高中数学联赛（第01试）】如果在区间[1，2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1x2在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( )A．4+1132√23+√43B．4−52√23+√43C．1−12√23−√43D．以上答案都不对【答案】B【解析】函数f (x )在(−p 2,4q−p 24)上取到最小值，而g(x)=x 2+x 2+1x 2⩾3(x 2x 21x2)13=3×413，等号取到当x 2=1x2时，即x =213，则有−p2=213，4q−p 24=3×413，解得p =−243,q =3×2−23+223.由于213−1<2−213，那么f (x )在区间[1，2]的最大值在x =2处取到， 即f(x)=f(2)=4−5×2−23+223.10．【1995高中数学联赛（第01试）】已知方程|x −2n|=k √x(n ∈N)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．0<k ⩽2n+1C ．12n+1<k ⩽√2n+1D ．以上都不是.【答案】B【解析】显然k ≥0，而k =0导出x =2n .原方程只有一根，故k >0.又由(x −2n)2=k 2x 知，抛物线y =(x −2n)2与直线y =k 2x 在区间(2n －1，2n +1)上有两个不同交点， 所以，当x =2n －1时，有(x −2n)2>k 2x ， 而当x =2n +1时，有(x −2n)2⩾k 2x . 从而k 2(2n +1)⩽1，即k ⩽√2n+1.故选B .11．【1993高中数学联赛（第01试）】已知f(x)=asinx +b √x 3+4(a ，b 为实数)且f (lglog 310)=5，则f(lglg3)的值是( ) A ．−5B ．−3C ．3D ．随a ，b 取不同值而取不同值 【答案】C【解析】因为f (x )－4是奇函数，故f(−x)−4=−(f(x)−4)，即f(−x)=−f(x)+8. 而lglg3=−lglog 310，所以f(lglg3)=f (−lglog 310)=−f (lglog 310)+8=−5+8=3.12．【1992高中数学联赛（第01试）】设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系：f (10+x )=f (10－x )，f (20－x )=－f (20+x ).则f (x )是( ) A ．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数【答案】C【解析】由所给第一式得f[10+(10−x)]=f[10−(10−x)]，所以f(x)=f(20−x)①又由所给第二式得f(x)=−f(20+x)②所以f(40+x)=f[20+(20+x)]=−f(20+x)=f(x).可见f(x)是周期函数.由式①，②得f(−x)=f(20+x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数.13．【1991高中数学联赛（第01试）】设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3+x)=f(3－x)，且方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为( )A．18B．12C．9D．0【答案】A【解析】若3+a是f(x)=0的一个根，则由已知f(3−a)=f(3+a)=0，即3－a也是一个根.因此可设方程f(x)=0的六个根为3±a1,3±a2,3±a3.于是它们的和等于18.14．【1990高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x ∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[－2，0]时，f(x)的解析式是( )A．f(x)=x+4B．f(x)=2−xC．f(x)=3−|x+1|D．f(x)=2+|x+1|【答案】C【解析】(1)由f(x)=x(2⩽x⩽3)及周期为2，有f(x+2)=x.(2)由于f(x)是偶数，得f(x)=−x+2(−1⩽x⩽0).15．【1989高中数学联赛（第01试）】对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－1)与函数y=f (－x+1)的图像恒( )A．关于x轴对称B．关于直线x=1对称C．关于直线x=－1对称D．关于y轴对称【答案】B【解析】f(x)和f(－x)的图像关于直线x=0对称，f(x－1)与f(－x+1)的图像关于直线x=1对称.16．【1988高中数学联赛（第01试）】设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是( )A．y=−φ(x)B．y=−φ(−x)C．y=−φ−1(x)D．y=−φ−1(−x)【答案】B【解析】第一个函数的图像与第二个函数的图像关于x−y=0对称，第二个函数的图像与第三个函数的图像关于x+y=0对称，所以第一个函数的图像与第三个函数的图像关于原点对称.17．【1985高中数学联赛（第01试）】假定有两个命题：甲：a是大于0的实数；乙：a>b且a−1>b−1.那么( )A．甲是乙的充分而不必要条件B．甲是乙的必要而不充分条件C．甲是乙的充分必要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】因为仅有“甲”是不能使得“乙”成立，因此可知“甲”不是“乙”的充分条件.接着看“乙”在什么情况下成立.很明显，当且仅当a>0且b<0时，“乙”才能成立由此可知，“甲”是“乙”成立的不可缺少的条件，综上所述，得“甲”是“乙”的必要而不充分条件18．【1984高中数学联赛（第01试）】方程sinx=1gx的实根个数是( )A．1B．2C．3D．大于3【答案】C【解析】判断方程sinx=lgx解的个数，就是确定正弦曲线sinx和对数函数lgx的图像的交点个数.首先确定x的范围.由lgx的定义知x>0，又因为sinx⩽1，所以lgx⩽1.从而得0<x⩽10.在直角坐标系中作出0<x≤10范围内y=sinx和y=1gx的图像.因为0=lg1<sin1，lgπ>sinπ=0，所以当x∈(1,π)时，sinx=lgx必有一解.同理可知，当x∈(2π,2π+π2)和x∈(2π+π2,3π)时，方程各有一解.19．【1984高中数学联赛（第01试）】若a>0，a≠1，F(x)是一奇函数，则G(x)=F(x)⋅(1a x−1+12)是( )A．奇函数B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数D．奇偶性与a的具体数值有关【答案】B【解析】因为G(x)=F(x)⋅a x+12(a x−1)，所以G(−x)=F(−x)⋅a −x+12(a−x−1)=−F(x)⋅a x+12(1−a x)=G(x).即G(x)是偶函数20．【1984高中数学联赛（第01试）】若F(1−x1+x)=x，则下列等式中正确的是( )A．F(−2−x)=−2−F(x)B．F(−x)=F(1+x1−x)C．F(x−1)=F(x)D．F(F(x))=−x【答案】A【解析】先求出F(x)的表达式，作变换t=1−x1+x ，得x=1−t1+t.所以F(t)=1−t1+t，然后一一验证，知F(−2−x)=−2−F(x).21．【1983高中数学联赛（第01试）】x=1log1213+1log1513的值是属于区间( )A.(−2,−1)B.(1,2)C.(−3,−2)D.(2,3)【答案】D【解析】x=log1312+log1315=log13110=log310，2=log39<log310<log327<3.22．【1983高中数学联赛（第01试）】已知函数f(x)=ax2－c，满足：－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5.那么，f(3)应满足( )A．7⩽f(3)⩽26B．−4⩽f(3)⩽15C．−1⩽f(3)⩽20D．−283⩽f(3)⩽353【答案】C【解析】由−4⩽f(1)⩽−1得−4⩽a−c⩽−1，所以1⩽c−a⩽4①由−1⩽f(2)⩽5得−1⩽4a−c⩽5②由①+②得0⩽3a⩽9，即0⩽a⩽3.所以0⩽5a⩽15.由②+③得−1⩽9a−c⩽20，即−1⩽f(3)⩽20.23．【1982高中数学联赛（第01试）】如果log2[log12(log2x)]=log3[log13(log3y)]=log5[log15(log5z)]=0，那么( )A．z<x<y B．x<y<z C．y<z<x D．z<y<x 【答案】A【解析】由条件可得x=212=816=32110，y=313=916，z=515=25110.据幂函数的单调性可知z<x<y.24．【1982高中数学联赛（第01试）】已知x1，x2是方程x2－(k－2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是( )A．19B．18C．559D．不存在【答案】B【解析】实系数一元二次方程有实数根，所以Δ=[−(k−2)]2−4⋅1⋅(k2+3k+5)⩾0，可解得−4⩽k⩽−43.由韦达定理，经整理，得到x12+x22=−(k+5)2+19，所以当k=－4时，x12+x22取到最大值，这最大值为18.25．【1981高中数学联赛（第01试）】对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面的结论中，哪一个是错误的( )A．至多有三个实根B．至少有一个实根C．仅当p2－4q≥0时才有实根D．当p<0和q>0时，有三个实根【答案】CD【解析】由题意得f(x)={x2+px+q(x⩾0)−x2+px+q(x<0)f(x)={(x+p2)2+4q−p24(x⩾0)−(x−p2)2+4q+p24(x<0)由此可得p取不同值时，函数的大致图像:其中q的变化，仅决定函数图像在坐标平面上、下平移.从上面的图像可见方程f(x)=0至多有三个实根，至少有一个实根.于是当且仅当p2－4q≥0时才有实根的结论不正确，所以选项C不成立.由p<0，q>0的图像可见选项D也不成立优质模拟题强化训练1．方程组{y=e|x|−e||x|−|y||=1的解的组数是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】如图，分别画出y=e|x|−e与||x|−|y||=1的图象，从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组.故选：B.2．已知abc<0，则在下图的四个选项中，表示y=ax2+bx+c的图像只可能是（）。