一、正弦定理1、在ABC ∆中：2R sinCcsinB b sinA a ===（R 为△ABC 的外接圆半径）。

它的变式有：①a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；②；，RcC R B R a A 2sin 2b sin 2sin ===③a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 。

推论1：△ABC 的面积为：S △ABC =21absinC=21bcsinA=21casinB （证明：由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21）。

推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a 。

(证明：因为B+C=π－A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a)；还有两个式子为：acosC+ccosA=b ，bcosA+acosB=c 。

2、利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题①已知两角和任意一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。

例1 △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=2，︒=45B ，分别求出下式中角A 的值。

①b=21；②b=1；③b=332；④b=2；⑤b=2。

【答①无解；②A=︒90；③A=︒︒12060或；④A=︒45；⑤A=︒30。

】例2 在△ABC 中，已知AB=1，︒=50C ，当B= 时，BC 的长取最大值。

【答：︒40】3、推导并记住：42675cos 15sin -== ，42615cos 75sin +== 。

例3 在锐角△ABC 中，若C=2B ，则bc的范围是（ ） A 、（0，2） B 、)2,2( C 、)3,2( D 、)3,1( 【答：C 】 例4 在△ABC 中，c=3，C=︒60，求a+b 的最大值。

【答：23】例5 在等腰△ABC 中，已知21sinB sinA =，BC=3，则△ABC 的周长为 。

【答：15】 4、角平分线定理：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACABDC BD =。

例6 已知△ABC 的三条边分别是3、4、6，则它较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比为（ ）A 、1:1B 、1:2C 、1:4D 、3:4 【答：B 】练习1 △ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。

若x a =,2=b ,︒=45B ,且此三角形有两解，则x 的取值范围为 ( )A 、)22,2(B 、22C 、),2(+∞D 、]22,2( 【答：A 】练习2 在△ABC 中已知a=1，B=︒60，面积S=3，则=++++sinCsinB sinA cb a 。

【答：3392】 练习3 在△ABC 中，已知b=3，c=33，B=︒30，求a= 。

【答：3或6】 练习4 △ABC 中，已知2a=b+c ，sin2A=sinBsinC ，试判断△ABC 的形状。

【答：等边三角形】 练习5 在△ABC 中，已知23==b a ，，︒=45B ，求A 、C 及c 。

【答：①A=︒60，C=︒75，c=226+；②A=︒120，C=︒15，c=226-】 练习6 在△ABC 中，a=2，C=︒45，cos 2B =552，则三角形的面积为S △ABC = 。

【答：78】 练习7 在△ABC 中，已知cos 22A =1092c =+c b ，c=5，则△ABC 的内切圆半径是（ ） A 、21 B 、1 C 、2 D 、59【答：B 】二、余弦定理1、在△推论 海伦公式：S △ABC =).)()((c p b p a p p ---，这里p 是三角形的半周长即：.2cb a p ++=。

因为412=∆ ABCS b 2c 2sin 2A=41b 2c 2 (1－cos 2A)= 41b 2c 2 1614)(1222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2－a 2][a 2－(b －c) 2]=p(p －a)(p －b)(p－c)。

这里.2c b a p ++=，所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---。

2、利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题 ①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知两边和其中一边对角，求第三边和其他两个角。

3、在△4、在△ABC 中：=，则-=。

5、在△。

证明：B A B R A R b a B A sin sin sin 2sin 2>⇔>⇔>⇔>。

6、在锐角ABC ∆中，有：B A cos sin >，A B cos sin >。

【在锐角三角形中，任一角的正弦值大于另一角的余弦值】证明：∵△ABC 为锐角三角形 2π>+∴B A ，即：B A ->2π，B B A cos )2sin(sin =->∴π，即B A cos sin >；同理：A B cos sin >。

例1 在△ABC 中，用三边长表示BC 边的中线m a ，其公式为m a = 。

【答：222222a c b -+】练习2 在△ABC 中，∠BAC=︒120，AM 是边BC 上的中线，且AB=4，AC=6，求AM 的长。

【提示：延长AM 至D ，使AM=MD ，则四边形ABDC 为平行四边形，然后在△ABD 中利用余弦定理求解，也可以利用中线长公式求解。

答案：7】例2 在△ABC 中，已知35cos ,sin 513A B ==，求cos C 。

解：因为53cos >A ，所以角A 为锐角，从而4sin 5A =，又因为5sin 13B =，则sinA>sinB ，所以角B 也是锐角，从而12cos 13B =，（这里是学生的易错点，常求得12cos 13B =±）。

又因为A+B+C=π，则C=π―(A+B)，6516)135********()sin sin cos (cos )cos(cos -=⨯-⨯-=--=+-=B A B A B A C 。

例3 △ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 的值为（ ）。

A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、6516- 【答：A 】例4 若三角形的三边长分别是3、4、5，则将三边增加相同的长度后所得到的新三角形为（ ）A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定 【答：C 】例5 已知钝角三角形的三边长分别为a ，a+1，a+2，且最大内角不超过︒120，则a 的取值范围为 。

【答：323<≤a 】例6 已知三角形的三边长分别为2a+3，a 2+3a+3，a 2+2a （a>0），则三角形中的最大角等于 。

【答：︒120】例7 【若△ABC 的边长a 、b 分别为方程x 2－23x+2=0的两根，且△ABC 的面积为23，求第三边c 的长。

【答：c=610或】例8 若锐角三角形三边的长分别为2、3、x ，则（ ）A 、1<x<5B 、3<x<13C 、13<x<5D 、1<x<5 【答：B 】 例9 在△ABC 中，若acosA=bcosB ，则△ABC 是（ ） 【答：D 】A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰三角形或直角三角形例10 在△ABC 中，已知角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=37，CB CA ⋅25=，且a+b=9，则c= 。

【答：6】例11 在△ABC 中，已知A>B>C ，且A=2C ，b=4，a+c=8，求a 、c 的值。

【答：a=524，c=516】例12 在△ABC 中，已知角A 、B 均为锐角，且a>bsinA ，则△ABC 的形状是（ ）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形 【答：C 】练习2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ，若4,222=⋅+=+AB AC bc a c b 且，则△ABC 的面积等于 。

【答：23】练习3 在△ABC 中，sinA=53，cosB=135，则cosC= 。

练习4 在△ABC 中，已知AC B AB ,66cos ,364==边上的中线BD=5，求sinA 的值。

【答：1470sin =A 】 7、在解三角形时，①已知三条边a 、b 、c ，求三个角A 、B 、C 时，常用余弦定理求解，此时三角形是确定的，解唯一；②已知三个角A 、B 、C ，求三条边a 、b 、c 时，此时三角形不确定，它们是相似的，此类题无解； ③已知两个角和一条边，求另外一角和两边时，即知道了三个角和一条边，常用正弦定理求解，此时三角形确定，解唯一；④已知两条边和它们的夹角，求另外一边和两角时，常用余弦定理求解，此时三角形确定，解唯一；⑤已知两条边和一条边所对的一个角时，此时三角形不确定，得根据不同的情况求解。

例如：已知两条边a 、b 和A ，如何来确定此三角形解的情况？i)当A 为锐角时：ii)当A 为直角或钝角时：总结：①若1a sin sin >=Ab B ，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； ②若1asin sin ==Ab B ，则满足条件的三角形的个数为1；③若1asin sin <=Ab B ，则满足条件的三角形的个数为1或2，显然由1a sin 0<<A b 可得B 有两个值，一个为钝角，另一个为锐角。

要考虑“大边对大角”及“三角形的内角和为︒180”等隐含条件对所求角进行取舍。

练习5 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B ，BC A cos 2cos 1cos 1-=+，求2cos C A -的值。

【提示：B=︒60，则设A=︒60+α，C=︒60-α，则α=-2CA 】 三、正余弦定理的应用 解斜三角形的问题，通常要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。

其中建立数学模型的思想方法，也是我们学习数学的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的所在。

解题时应根据已知与未知，合理选择正、余弦定理使用，使解题过程简洁，要达到算法简练，算式工整、计算准确。

（1）、解斜三角形应用题的步骤：①准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中有关名词、术语。