解三角形复习
【知识梳理】
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有
2sin sin sin a b c R C ===A B ．
2、正弦定理的变形公式：
①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④
sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ．
3.解决以下两类问题： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B
=；（唯一解） ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。

(一解或两解)
4、三角形面积公式：111sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =
A ==
B ．
5．余弦定理：
形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）
6.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
7.三角形ABC 中 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+
⇔⇔∆>+
⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆
【典例应用】
题型一：正余弦定理解三角形
1.在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>==V ，求c b ,。

2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A ．090
B ．0120
C ．0135
D ．0150
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. 185
B. 43
C. 23
D. 8
7 4.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=
-+，则角B 的值为（ ） A. 6π B. 3π C.6π或56π D. 3π或23
π 5．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81- 6.在△ABC 中，a=1,B=450
,2ABC S ∆=,则△ABC 的外接圆的直径是 . 7.在△ABC 中,222sin A sin B+sinBsinC+sin C =,则角A= .
8．在△ABC 中，已知63,3
1cos ,3tan ===
AC C B ，求△ABC 的面积
9． 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和
32
1+=b c ，求A ∠和B tan 的值
题型2：判断三角形形状
例1.在ABC ∆中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，试判断ABC ∆的形状.
2． 在ABC ∆中，已知a b a +＝sin sin sin B B A
-,且cos(A －B)＋cosC ＝1－cos2C. 试确定ABC ∆的形状.
3.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形 4 在中，
，则三角形为（ ） A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 等腰三角形
D. 等边三角形 5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 锐角或钝角三角形
6．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
7.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是 .
8. 在ABC ∆中，若（a-c cosB ）sinB=（b-c cosA ）sinA, 则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰或直角三角形
题型3：三角形的解的个数问题
1.已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（）解
A 一
B 两
C 无解
2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（）解
A 一
B 两
C 无解
3.在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果三角形有两解，则x 的取值范围是
题型4:取值范围问题
1.已知两线段1=a ，2=
b ，若以a 、b 为边作三角形，则a 边所对的角A 的取值范围（ ）
A ．]6,0(π
B ．)2,0(π
C ．]4,0(π
D ．)3,6(π
π 2．在ABC ∆中，ο60=B ，若此三角形最大边与最小边之比为2:)13(+，则最大内角（）
A ．ο45
B ．ο60
C ．ο75
D ．ο90
3.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是 ( )
A.03a <<
B.13a <<
C.34a <<
D.4<a<6
4．在ABC ∆中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，且B A 2=，则b
a 的取值范围是 ． 5. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 ．
6．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。

课堂练习：
1．在ABC ∆中，5=a ，ο105=B ，ο
15=C ，则此三角形的最大边的长为__________．
2．在ABC ∆中，12=+b a ，ο60=A ，ο45=B ，则=a _________，=b ________． 3．在ABC ∆中，若
b B a A cos sin =，则B 的值为（ ） A ．ο30 B ．ο45 C ．ο60 D ．ο90
4.ABC ∆中，3π
=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ）
A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πB 5.已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，且ABC S ∆＝222
4
a b c +-，那么角C ＝ 6. 在四边形ABCD 中，
四个角A 、B 、C 、D 的度数的比为3:7:4:10，求
AB 的长。

7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =， 3AB AC ⋅=u u u r u u u r ． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
8．在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C ，a+c=2b，求此三角形的三边之比。