初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x ，然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可GA'C D4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等321FEDCBA54132G D‘FC‘DBCAE9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B’C’与DN 交于P ．(1)连接BB’，那么BB’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y ，AB’=x ，求y 与x 的函数关系式；(3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．PC'NB CADMB'QPH C'N BCADM B'二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQa2130°BEFACD14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC -∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB BGE F D A EF D B C AB C60c m三、三角形中的折叠17．如图，把Rt△ABC（∠C=90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。

要抓住折叠前后图形之间的对应关系(2)将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ （如图④），求∠MNF的大小．由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，∴MF=NF，由对称性可知，MF=PF，∴NF=PF，而由题意得出：MP=MN，又MF=MF，∴△MNF≌△MPF，∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，即3∠MNF=180°，∴∠MNF=60°，在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形21．直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC ≤BC ，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A 落在直角边BC 上，记落点为D ，设折痕与AB 、AC 边分别交于点E 、点F ．探究：如果折叠后的△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，那么纸片中∠B 的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形．∵△CDF 中，∠C=90°，且△CDF 是等腰三角形， ∴CF=CD ，∴∠CFD=∠CDF=45°，设∠DAE=x °，由对称性可知，AF=FD ，AE=DE ， ∴∠FDA=12 ∠CFD=22.5°，∠DEB=2x °，分类如下：①当DE=DB 时，∠B=∠DEB=2x °，由∠CDE=∠DEB+∠B ，得45°+22.5°+x=4x ， 解得：x=22.5°．此时∠B=2x=45°；见图形（1），说明：图中AD 应平分∠CAB ．②当BD=BE 时，则∠B=（180°-4x ）°，由∠CDE=∠DEB+∠B 得：45+22.5+x=2x+180-4x ， 解得x=37.5°，此时∠B=（180-4x ）°=30°． 图形（2）说明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．③DE=BE 时，则∠B=180°- 2x2由∠CDE=∠DEB+∠B 的，45+22.5+x=2x+180°- 2x2此方程无解． ∴DE=BE 不成立．综上所述∠B=45°或30°先确定△CDF 是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE 是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB ，②BD=BE ，③DE=BE ，然后分别利用角的关系得出答案即可22．下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕CD交AB于点D；打开后，过点D任意折叠，使折痕DE交BC于点E，如图3；打开后，如图4；再沿AE折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕DE和AE长度的和的最小值是（）过D点作DF∥BC，交AC于F，作A点关于BC的对称点A′，连接DA′，则DA′就是DE和AE的最小值．∵D点是AB的中点，∴DF=1，FC=1，∴FA′=3∴DA′= 12 + 32 = 10∴折痕DE和AE长度的和的最小值是10本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系23．小华将一条1（如图1），沿它对称轴折叠1次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图3），则图3中一条腰长；同上操作，若小华连续将图1折叠n次后所得到（如图n+1）一条腰长为多少？．解：每次折叠后，腰长为原来的2 2故第2次折叠后得到的等腰直角三角形的一条腰长为（22）2 -12则小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为（22）n本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．27．我们知道：任意的三角形纸片可通过如图①所示的方法折叠得到一个矩形．解：（1）折叠方法如图所示．折叠方法如图所示．折叠即对称明白折叠中的对应边就行29．已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（1）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（3）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标．折痕是对应点连线的垂直平分线四、圆中的折叠30．如图，正方形ABCD 的边长为2，⊙O 的直径为AD ，将正方形的BC 边沿EC 折叠，点B 落在圆上的F 点，求BE 的长连接OC 、OF ，则△OCF ≌△OCD(SSS)，∴∠OFC = ∠ODC = 90°， 所以∠OFE = 180°，即点O 、F 、E 在一条直线上32．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=5，DB=7，则BC的长是多少？连接CA、CD；根据对称的性质，得：弧CB = 弧BDC∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；∵∠CDA=∠CBD+∠BCD，∴∠CAD=∠CDA，即△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E，则AE=DE=2.5；∴BE=BD+DE=9.5；在Rt△ACB中，CE⊥AB，△ABC∽△CBE，得：BC2=BE•AB=9.5×12=114；故BC= 114此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△CAD 是等腰三角形，是解答此题的关键33．已知如图：⊙O的半径为8cm，把弧AmB沿AB折叠使弧AmB经过圆心O，再把弧AOB沿CD折叠，使弧COD经过AB的中点E，则折线CD的长为（47 ）作CD关于C’D’的对称线段C’D’，连接OE并延长交CD于点F，交C′D′于点F′，交弧AmB于点G，根据对称的性质得出OF′=6，再由勾股定理得出C’F’ = 27 ．。