中考数学复习专题：折叠问题根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD ，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。
∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM -∠M=30°。
∴∠CBM=∠M。
∴BC=CM。
设CF=x ，D′F=DF=y ， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y 。
∴FM=CM+CF=2x+y， 在Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°=D F y 3FM 2x y '==+3-1x =。
∴CFx 3-1FD y ==。
故选A 。
3. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】A3 1 B2＋1 C．2.5 D5【答案】B。
【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝045＝2 22.5°。
∴∠FAB＝67.5°。
设AB＝x，则AE＝EF2x，∴an67.5°＝tan∠FAB＝t FB2x+x21==。
故选B。
AB x4. （2012广东河源3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．若∠A＝75º，则∠1＋∠2＝【】A．150º B．210º C．105º D．75º【答案】A。
【考点】折叠的性质，平角的定义，多边形内角和定理。
【分析】根据折叠对称的性质，∠A′＝∠A＝75º。
根据平角的定义和多边形内角和定理，得∠1＋∠2＝1800－∠ADA′＋1800－∠AEA′＝3600－（∠ADA′＋∠AEA′）＝∠A′＋∠A＝1500。
故选A。
5. （2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【】A．32 B．52C．94D．3【答案】B。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。
【分析】∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3。
根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。
设DF=x，则EF=EG＋GF=1＋x，FC=DC －DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。
在Rt△EFC中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：3x2。
∴DF=32，EF=1＋35=22。
故选B。
6. （2012湖北武汉3分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是【】A．7 B．8 C．9D．10【答案】C。
【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。
【分析】根据折叠的性质，EF=AE＝5；根据矩形的性质，∠B=900。
在Rt△BEF中，∠B=900，EF＝5，BF＝3，∴根据勾股定理，得2222BE EF BF534=--=。
∴CD=AB=AE＋BE=5＋4=9。
故选C。
7. （2012湖北黄石3分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为【】A. 25cm8B. 25cm4C. 25cm2D. 8cm【答案】B 。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，矩形的性质，勾股定理。
【分析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，∵矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F 中，∵AF 2=AD′2＋D′F 2，即x 2=62＋（8－x ）2，解得：x=()25cm 4。
故选B 。
8. （2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD 的对角线长为2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为【 】A ． 8B ． 4C ． 8D ． 6【答案】C 。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。
【分析】如图，∵正方形ABCD 的对角线长为，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos22。
∴AB=BC=CD=AD=2。
由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，∴图中阴影部分的周长为A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+ BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。
故选C。
9. （2012四川内江3分）如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为【】A.15B.20C.25D.30【答案】D。
【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。
【分析】根据矩形和折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为2（10+5）=30。
故选D。
10. （2012四川资阳3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C 恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是【】A．63 B．123C．183D．3【答案】C。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，相似三角形的判定和性质，【分析】连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，∴MN⊥CD，且CE=DE。
∴CD=2CE。
∵MN∥AB，∴CD⊥AB。
∴△CMN∽△CAB。
∴2CMN CAB S CE 1S CD 4∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭。
∵在△CMN 中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴CMN11S CM CN 622∆=⋅=⨯⨯= ∴CAB CMN S 4S 46 3 24 3∆∆==⨯= ∴CAB CMN MABN S S S 36 33∆∆=-=四形边。
故选C 。
11. （2012贵州黔东南4分）如图，矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB=6，△ABF 的面积是24，则FC 等于【 】A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。
【分析】由四边形ABCD 是矩形与AB=6，△ABF 的面积是24，易求得BF 的长，然后由勾股定理，求得AF 的长，根据折叠的性质，即可求得AD ，BC 的长，从而求得答案：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°，AD=BC 。
∵AB=6，∴S△ABF =12AB•BF=12×6×BF=24。
∴BF=8。
∴AF10=。
由折叠的性质：AD=AF=10，∴BC=AD=10。
∴FC=BC﹣BF=10﹣8=2。
故选B。
12. （2012贵州遵义3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【】A．32B．26C．25D．23【答案】B。
【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形。
∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM。
∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM （AAS）。
∴NG=NM。
∵E是AD的中点，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM。
∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM。
∴BN=NF。
∴NM=12CF=12。
∴NG=12。
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣1522=。
∴BF=2BN=5∴2222BC BF CF5126--B。
13. （2012山东泰安3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为【】A ．9：4B ．3：2C ．4：3D ．16：9【答案】D 。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】设BF=x ，则由BC=3得：CF=3﹣x ，由折叠对称的性质得：B′F=x。
∵点B′为CD 的中点，AB=DC=2，∴B′C=1。
在Rt△B′CF 中，B′F 2=B′C 2+CF 2，即22x 1(3x)=+-，解得：5x 3=，即可得CF=54333-=。
∵∠DB′G=∠DGB′=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，∴∠DGB′=∠CB′F。
∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′。
根据面积比等于相似比的平方可得：22PCB B DG S FC 416()S B D 39∆'∆'⎛⎫=== ⎪'⎝⎭。
故选D 。
14. （2012山东潍坊3分）已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将ΔABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=【 】．A ．512 B ．5+123．2 【答案】B 。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，相似多边形的性质。
【分析】∵矩形ABCD 中，AF 由AB 折叠而得，∴ABEF 是正方形。
又∵AB=1，∴AF= AB=EF=1。
设AD=x ，则FD=x －1。
∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF AD FD AB =，即1x x 11=-。