四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：折叠问题1、如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，求CE的长？【解答】解：∵AB=4，AD=3，∴BD=5，∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E，∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3，∵当点C落在矩形ABCD的对角线上，∴D，C′，B三点共线，∴C′D=2，∠DC′E=90°，∵DE=4﹣CE，∵DE2=DC′2+C′E2，即（4﹣CE）2=22+CE2，∴CE=32．2、如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长？【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时，∵△ACB是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，∴∠BMD=∠NDC，∴△BMD∽△CDN．∴得BDCN=DMDN=BMCD，∵DN=AN，∴得BDCN=DNAN=BMCD，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，设AN=x，则CN=10﹣x，∴210x－=xDM=8BM，∴DM=2x10x－，BM=1610x－，∵BM+DM=10，∴2x10x－+1610x－=10，解得x=7，∴AN=7；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN．∴得BDCN=DMDN=BMCD，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=103，CD=403，设AN=x，则CN=x﹣10，∴103x－10=xDM=403BM，∴DM=10x3x10（－），BM=4009x10（－），∵BM+DM=10，∴10x3x10（－）+4009x10（－）=10，解得：x=653，∴AN=653．3、如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，求所有满足此条件的点P的坐标？【解答】解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，∴直线L的解析式为；y=2x﹣8，∠BAO+∠PAC=90°，∵PC⊥x轴，∴∠PAC+∠APC=90°，∴∠BAO=∠APC，∵∠AOB=∠ACP ，∴△AOB ∽△PCA ， ∴=BO CA AO PC∴BO AO =AC PC =12， 设AC=m ，则PC=2m ，∵△PCA ≌△PDA ，∴AC=AD ，PC=PD ， ∴AD PD =AC PC =12， 如图1：当△PAD ∽△PBA 时，则AD BA =PD PA则AD PD =BA PA =12，∵∴∴m 2+（2m ）2=（2，∴m=±4，当m=4时，PC=8，OC=8，P 点的坐标为（8，8），当m=﹣4时，如图2，PC=8，OC=0，P 点的坐标为（0，﹣8），如图3，若△PAD ∽△BPA ，则=PA BA AD PD =12，PA=12AB=×12，则m 2+（2m ）2=2，∴m=±1，当m=1时，PC=2，OC=5，P 点的坐标为（5，2），当m=﹣1时，如图4，PC=2，OC=3，P 点的坐标为（3，﹣2）；则所有满足此条件的点P的坐标是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，求旋转角α的度数？，阴影部分的面积？【解答】解：∵AC=A′C，且∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形．∴∠ACA′=60°，∴∠A′CB=90°﹣60°=30°，∵∠CA′D=∠A=60°，∴∠CDA′=90°，∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°﹣30°=60°，∴∠CB′D=30°，∴CD=12CB′=12CB=12×2=1，∴，∴S △CDB′=12×CD ×DB′=12×12， S 扇形B′CB =2××260360π=23π，则阴影部分的面积为：23π5、如图，P 为正方形ABCD 内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB 绕点B 顺时针旋转90°得到△CP′B ，连接PP′．若BP 的长为整数，求AP 的长？【解答】解：∵△BP'C 是由△BPA 旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP +∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，设BP=BP'=a，AP=CP'=b，则a，在RT△PP'C中，∵PP'2+P'C2=PC2，且PC=3，∴∵BP的长a为整数，∴满足上式的a为1或2，当a=1时，当a=2时，AP=CP'=1，6、如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，求AD的长．【解答】解：Rt△ABC中，BC=AC=2，∴，∠B=∠A′CB=45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，∵∠B=45°，∴A′C ⊥AB ，∴BH=2，DH=2A′D=2x ，∴x+2x∴﹣2，∴2；②如图2，当A′D ∥AC ，∵把△ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A′处， ∴AD=A′D ，AC=A′C ，∠ACD=∠A′CD ，∵∠A′DC=∠ACD ，∴∠A′DC=∠A′CD ，∴A′D=A′C ，∴AD=AC=2，综上所述：AD 的长为：2或﹣2．7、如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N的长？【解答】解：∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠，A落在MN上，落点记为A′，∴A′B=AB=1，∵AB∥MN，M是AD边上距D点最近的n等分点，∴MD=NC=1n，∴BN=BC﹣NC=1﹣1n=n1n－，在Rt△A′BN中，根据勾股定理得，A′N2=A′B2﹣BN2=12﹣（n1n－）2=22n1n－，所以，n．8、如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围？【解答】解：如图：①当F、D重合时，BP的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=10；在Rt△PFC中，PF=10，FC=6，则PC=8；∴BP=x min=10﹣8=2；②当E、B重合时，BP的值最大；根据折叠的性质即可得到AB=BP=6，即BP的最大值为6．故答案为：2≤x≤6．9、如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标？【解答】解：连接EC．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△ACE 中，AB AC BAD CAEAD AE ∠∠===⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=EC ．∠ABD=∠ACE=45°，∵∠ACB=45°，∴∠ECD=90°，∴点E 在过点C 垂直x 轴的直线上，且EC=DB ，①当DB=DA 时，点D 与O 重合，BD=OB=2，此时E （2，2）．②当AB=AD 时，BD=CE=4，此时E （2，4）．③当时，E （2，）或（2，﹣），故答案为（2，2）或（2，4）或（2，2，﹣）．10、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点P 在AB 上．若将△DAP 沿DP 折叠，使点A 落在矩形对角线上的A′处，则AP 的长？【解答】解：①点A 落在矩形对角线BD 上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P ，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x ，则BP=4﹣x ，∵BP 2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x ）2=x 2+22，解得：x=32， ∴AP=32； ②点A 落在矩形对角线AC 上，如图2，根据折叠的性质可知DP ⊥AC ，∴△DAP ∽△ABC ， ∴=AD AP AB BC， ∴AP=AD BC AB ．=3×34=94．11、如图，在△ABC 中，BC=6，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是优弧EF 上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积？【解答】解：连接AD ，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S扇形AEF=21002×360π=109π，S△ABC=12AD•BC=12×2×6=6，∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=6﹣109π．故答案为：6﹣109π．12、矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离．【解答】解：如图所示，设PF⊥CD，∵BP=FP，由翻折变换的性质可得BP=B′P，∴FP=B′P，∴FP⊥CD，∴B′，F，P三点构不成三角形，∴F，B′重合分别延长AE，CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠AGD，∵∠BAG=∠B′AG，∴∠AGD=∠B′AG，∴GB′=AB′=AB=5，∵PB′（PF）⊥CD，∴PB′∥AC，∴△ACG∽△PB′G，∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3，∴，∴CB′=5﹣4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9，∴△ACG与△PB′G的相似比为9：5，∴AC：PB′=9：5，∵AC=3，∴PB′=53．13、已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH⊥AP交AP与H，，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP的长．【解答】解：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示．∵HD=HC，∴点E为CD的中点，∵EF∥AD，∴FH为△ABP的中位线，∴AH=HP．∵DH⊥AP，∴△DAP为等腰三角形，∴AD=DP．设BP=a，则CP=4﹣a，由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2，解得：a=4﹣，或a=﹣4﹣（舍去）；②当DH=DC时，如图2所示．∵，∴．在Rt△AHD中，AD=4，，∴，∴AH=DH，∴∠DAH=∠ADH=45°．∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAH=45°，∵∠B=90°，∴△ABP为等腰直角三角形，∴；③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．∵CH=CD，CE⊥DH，∴DE=HE=12 DH．∵DH⊥CF，DH⊥AP，∴CF∥AP，∵AF∥CP，∴四边形AFCP为平行四边形，∴AF=CP．∵EF∥AH，DE=HE，∴DF=AF=12AD=2，∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2．综上所述：BP的长度为4﹣、或2．14、如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长．【解答】解：①：CD'=BD'时，如图，由折叠性质，得AD=AD′，∠DAE=∠D′AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∵△BCD′为等腰三角形，∴D′B=D′C，∠D′BC=∠D′CB，∴∠DCD′=∠ABD′，在△DD′C和△AD′B中，DC AB DCD D CD BD ∠∠AB ='=''='⎧⎪⎨⎪⎩，∴△DD′C ≌△AD′B ，∴DD′=AD′，∴DD′=AD′=AD ，∴△ADD′是等边三角形，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴DE=12AE ， 设DE=x ，则AE=2x ，（2x ）2﹣x 2=42，解得：x=43即DE=43．②：当CD'=CB 时，如图，连接AC ，由于AD'=4，CD'=4，而4+4；故这种情况不存在．③当BD'=BC 时，如图过D'作AB 的垂线，垂足为F ，延长D'F 交CD 于G ， 由于AD'=BD'，D'F=D'F ；易知AF=BF ，从而由勾股定理求得=2， 又易证△AD'F ∽△D'EG ，设DE=x ，D'E=x ， ∴''='D D D E A G AF，即4x 242=7－；解得x=327－15、如图，已知菱形ABCD 的边长2，∠A=60°，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，若将△AEF 沿直线EF 折叠，使得点A 恰好落在CD 边的中点G 处，求EF ．【解答】解：延长CD ，过点F 作FM ⊥CD 于点M ，连接GB 、BD ，作FH ⊥AE 交于点H ，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD 是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x ，则DF=2x ，，∵DG=1，∴MG=x +1，∴（x +1）2+）2=（2﹣2x ）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=12AF=0.7，FH=AF•sin ∠A=1.4×2=10， ∵CD=BC ，∠C=60°，∴△DCB 是等边三角形，∵G 是CD 的中点，∴BG ⊥CD ，∵BC=2，GC=1，∴，设BE=y ，则GE=2﹣y ，2+y 2=（2﹣y ）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE ﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴20．16、如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，求AP的长．【解答】解：（1）当BD=BQ，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，∵D为AB的中点，∴DM=AN=12AC=32，BD=12AB=52，DN=BM=12BC=2，∴BQ=BD=52，QM=52﹣2=12，∴∠3=90°﹣12∠B，而∠2+∠3=90°，∴∠2=12∠B，又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A=90°﹣∠B，而∠1+∠EDF+∠2=90°，∴∠1=12∠B，即∠1=∠2，∴△DQM∽△DPN，∴PN：QM=DN：DM，即PN：12=2：32，∴PN=23，∴AP=32+23=136；（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，DA=DC=52，而Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A，∴△CPD∽△CDA，∴CP：CD=CD：CA，即CP：52=52：3，∴CP=25 12，∴AP=3﹣2512=1112；（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，∴Rt△APD∽Rt△ABC，∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=52：3，∴AP=256．17、如图1，在矩形纸片ABCD中，，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG的值．【解答】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，∵DE=EC ，，∴DE=12 在RT △DEM 中，∵DM 2+DE 2=EM 2，∴（2+x 2=（10﹣x ）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM +∠NEF=90°，∠NEF +∠ENF=90°， ∴∠DEM=∠ENF ，∵∠D=∠EFN=90°， ∴△DME ∽△FEN ， ∴=DE FN EM EN，∴710=.4EN∴EN=376∴AN=EN=376，∴tan ∠AMN=AN AM =56如图3中，∵ME ⊥EN ，HG ⊥EN ， ∴EM ∥GH ，∴∠NME=∠NHG ，∵∠NME=∠AMN ，∠EHG=∠NHG ， ∴∠AMN=∠EHG ，∴tan ∠EHG=tan ∠AMN=56。