2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（文科）（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A，全集U={−1,−2,1，2，3，4}，若∁U A={1,3，4)，则集合A是()A. {−1,−2,0，2}B. {−1,−2,2}C. {−1,−2}D. {0}2.已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=lnx+1，则f(−e)=()A. 2B. 0C. −2D. 13.若a∈(−π2,0)，且sinα+cosα=0，则sin3α=()A. −√22B. √22C. −√32D. 124.在1到100的整数中，除去所有可以表示为2n(n∈N+)的整数，则其余整数的和是()A. 3928B. 4024C. 4920D. 49245.已知双曲线S：x2m −y2m+8=1的离心率为2，则双曲线S的两条渐近线的夹角为()A. π6B. π3C. π6或π3D. π3或2π36.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为π6，则|a⃗−√3b⃗ |=()A. √7B. 2√2C. √10D. √197.已知点P在圆C：(x−2)2+(y+1)2=1上，直线l：3x+4y=12与两坐标轴的交点分别为M，N，则△PMN的面积的最大值是()A. 152B. 8 C. 172D. 98.已知在△ABC角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a=4，b=3，c=2.则△ABC的最大角的正弦值是()A. −14B. √152C. −√154D. √1549.已知f(x)=√3sinxcosx+sin2x−12(x∈[0,π2])，则f(x)的值域是()A. [−12,12] B. [−1,12] C. [−12,1] D. [−1,1]10.如图，已知底面边长为a的正四棱锥P−ABCD的侧棱长为2a，其截面PAC的面积为8√7，则正四棱锥P−ABCD的高是()A. √14B. 2√14C. 4√7D. 411.已知命题p：∃x∈R，x−10>lgx，命题q：∀x∈R，e x>12，则()A. “p∨q”是假命题B. “p∧q”是真命题C. “p∨￢q”是假命题D. “p∧￢q”是真命题12.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)且函数y=(1−x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是()A. 函数f(x)的极大值是f(2)，极小值是f(1)B. 函数f(x)的极大值是f(−2)，极小值是f(1)C. 函数f(x)的极大值是f(2)，极小值是f(−2)D. 函数f(x)的极大值是f(−2)，极小值是f(2)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若抛物线的准线方程为y=2，则该抛物线的标准方程是．14.若a∈R，i为虚数单位，|2+ai|=4，则a=______ ．15.设函数f(x)={5x−m,x<12x,x≥1，若f(f(45))=8，则m=______ ．16.已知函数f(x)=x2+ax+b有两个零点x1、x2，且−1<x1<0<x2<2，则z=a−2b的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}为等差数列，各项都为正数的等比数列{b n}的前n项和为S n，且b1=3，S3=39，a1=b2−7，a40=b4−1．(Ⅰ)求{a n}、{b n}的通项公式；(Ⅱ)求和a1+2a2+2a3+⋯…+2a n+a n+1．18.已知正四面体ABCD，M、N分别在棱AD、AB上，且AM=12MD，AN=13AB，P为棱AC上任意一点(P不与A重合)．(Ⅰ)求证：直线MN//平面BDP；(Ⅱ)若正四面体ABCD的各棱长均为60cm.求三棱锥M−BDC的体积．19.西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图(如图)．(Ⅰ)试估计这批树苗高度的中位数；(Ⅱ)现按分层抽样方法，从高度在[2.30,2.50]的树苗中任取6株树苗，从这6株树苗中任选3株，求3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40,2.50]的概率．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的任一点，且|PF2|的最大值和最小值分别为3和1，过F2的直线为l．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，求△ABF1的面积的最大值．21.已知函数f(x)=lnxln2x．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设ℎ(x)=f(x)−1，求证：ℎ(x)在[1,+∞)上有唯一零点．22. 已知曲线S 的参数方程为{x =3sinθ+1y =3cosθ(θ为参数，0≤θ<2π).点P(−12,−3√32)在曲线S 上，直线l 过点P ，且倾斜角为π3． (Ⅰ)求点P 在曲线S 上对应的参数θ的值； (Ⅱ)求直线l 被曲线S 截得的线段的长度．23. 已知f(x)=x|x −3|−4．(Ⅰ)解不等式f(x)≤0； (Ⅱ)设g(x)=f(x)x(x ≤3，且x ≠0)，求g(x)的值域．答案和解析1.【答案】B【解析】解；因为全集U={−1,−2,1，2，3，4}，若∁U A={1,3，4)，由补集的定义可得，A={−1,−2,2}．故选：B．利用补集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了补集定义的理解和应用，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=lnx+1，则f(e)=lne+1=2，又由f(x)为奇函数，则f(−e)=−f(e)=−2，故选：C．根据题意，由函数的解析式求出f(e)的值，由函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为sinα+cosα=0，所以tanα=sinαcosα=−1，又因为a∈(−π2,0)，所以α=−π4，则sin3α=sin(−3π4)=−sin3π4=−√22．故选：A．先利用同角三角函数关系得到tanα的值，然后利用特殊角的三角函数求出α，利用诱导公式求解sin3α即可．本题考查了三角函数的求值问题，主要考查了同角三角函数关系以及诱导公式的应用，解题的关键是利用特殊角的三角函数求出α，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为当2n∈[1,100]时，n=1，2，3，4，5，6，所以21+22+23+24+25+26=2×(1−26)1−2=126，又1+2+3+⋯+100=100×1012=5050，所以在1到100的整数中，除去所有可以表示为2n(n∈N+)的整数，其余的整数的和为5050−126=4924．故选：D．先利用等比数列的求和公式求出1到100的整数中，可以表示为2n(n∈N+)的整数和，再求出1到100的整数和，作出即可得到答案．本题以推理为载体考查了等差数列与等比数列的求和问题，解题的关键是掌握等差和等比数列的求和公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：当m+8>0时，双曲线S：x2m −y2m+8=1的离心率为2，可得ca =√2m+8m=2，解得m=4，所以双曲线的渐近线方程为：√3x±y=0，双曲线S的两条渐近线的夹角为：π3．当m+8<0时，双曲线S：x2m −y2m+8=1的离心率为2，可得ca =√−8−2m−8−m=2，解得m=−12，所以双曲线y24−x212=0的渐近线方程为：√33x±y=0，双曲线S的两条渐近线的夹角为：π3．故选：B．利用双曲线的离心率求解m，然后求解渐近线方程，即可求解两条渐近线的夹角．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：∵|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为π6，∴a⃗⋅b⃗ =1×2×√32=√3，∴|a⃗−√3b⃗ |2=a⃗2−2√3⋅a⃗⋅b⃗ +3b⃗ 2=1−2√3×√3+3×22=7，故|a⃗−√3b⃗ |=√7，故选：A．先计算出向量a⃗，b⃗ 的数量积，计算出|a⃗−√3b⃗ |2，从而得出结论．本题已知两个向量的长度与夹角，求它们线性组合的一个向量的模，着重考查了向量数量积的定义与向量模的公式等知识，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：如图，圆C的圆心(2,−1)到直线3x+4y=12的距离d=√32+42=2．则圆C上的点P到直线l的距离的最大值为3．又直线l：3x+4y=12与两坐标轴交点分别为M(4,0)，N(0,3)，∴|MN|=5．∴△AMN面积的最大值为S=12×5×3=152．故选：A．求出圆C的圆心到直线l的距离，得到圆C上的点P到直线l的最大距离，再求出|MN|，代入三角形面积公式求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．8.【答案】D【解析】解：最大角是A，根据余弦定理：cosA=b2+c2−a22bc =9+4−162×3×2=−14，且A∈(0,π)，∴sinA=√1−cos2A=√1−116=√154．故选：D．可看出最大角是A，然后根据余弦定理可求出cos A的值，然后即可求出sin A的值．本题考查了大边对大角定理，余弦定理，sin2x+cos2x=1，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：f(x)=√32sin2x+1−cos2x2−12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)，∵x∈[0,π2]，∴2x−π6∈[−π6,5π6]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴f(x)的值域为[−12,1]．故选：C．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y= f(x)的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由题意可知，PA=PC=2a，AC=√2a，所以△PAC的高ℎ=(√22=√72a，所以△PAC的面积S=12⋅AC⋅ℎ=12⋅√2a⋅√72a=√72a2，又截面PAC的面积为8√7，所以√72a2=8√7，解得a=4，所以正四棱锥P−ABCD的高即为△PAC的高ℎ=√72×4=2√14．故选：B．先求出截面的高h，然后利用截面的面积列出关于a的方程，求出a的值，进一步求出高h即可．本题出了棱锥结构特征的理解和应用，涉及了棱锥截面的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：命题p：∃x∈R，x−10>lgx，当x=100时，不等式成立，故p为真命题；命题q：∀x∈R，e x>12，当x=−1时，不等式不成立，故q为假命题；故：“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，“p∨￢q”是真命题，“p∧￢q”是真命题．故选：D．直接利用存在性问题和恒成立问题的应用，真值表的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：存在性问题和恒成立问题的应用，真值表，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用，属于简单题．利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．【解答】解：由函数的图象可知，f′(−2)=0，f′(2)=0，并且当x<−2时，f′(x)>0，当−2<x<1，f′(x)<0，函数f(x)有极大值f(−2)．又当1<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，故函数f(x)有极小值f(2)．故选：D．13.【答案】x2=−8y【解析】【分析】本题考查抛物线的标准方程，是基础题．由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，求得p值，即可求解．【解答】解：由抛物线的准线方程为y=2，可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，设其方程为x2=−2py(p>0)，=2，得p=4．则其准线方程为y=p2∴该抛物线的标准方程是x 2=−8y ．故答案为：x 2=−8y ．14.【答案】±2√3【解析】解：因为|2+a i |=|2+aii 2|=|2−ai|=4，所以√22+(−a)2=4，解得a =±2√3．故答案为：±2√3．先利用复数的除法运算将式子进行化简，然后由复数模的定义列出等式，求解即可． 本题考查了复数模的求解，同时考查了复数的运算法则的理解和应用，解题的关键是掌握复数模的定义，属于基础题． 15.【答案】1【解析】解：根据题意，函数f(x)={5x −m,x <12x ,x ≥1， 则f(45)=5×45−m =4−m ，当m ≤3时，4−m ≥1，f(f(45))=f(4−m)=24−m =8，解可得m =1，符合题意， 当m >3时，4−m <1，f(f(45))=f(4−m)=5(4−m)−m =20−6m =8，解可得m =2，不符合题意，综合可得：m =1，故答案为：1根据题意，求出f(45)的表达式，分m ≤3与m >3两种情况讨论，求出m 的值，综合可得答案．本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题． 16.【答案】[−2,3]【解析】解：由题意可得，{f(−1)=−a +b +1>0f(0)=b <0f(2)=2a +b +4>0，由不等式组作出可行域如图，由2a +b +4=0，取b =0，得a =−2，联立{−a +b +1=02a +b +4=0，解得{a =−1b =−2， 作出直线a −2b =0，由图可知，平移直线至(−1,−2)时，z =a −2b 有最大值为3； 至(−2,0)时，z =a −2b 有最小值为−2．∴z =a −2b 的取值范围为[−2,3]，故答案为：[−2,3]．由已知可得关于a ，b 的不等式组，再由线性规划知识求解z =a −2b 的取值范围． 本题考查一元二次方程根的分布与系数间的关系，考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q >0，由b 1=3，S 3=39，a 1=b 2−7，a 40=b 4−1，可得3+3q +3q 2=39，a 1=3q −7，a 1+39d =3q 3−1，解得q =3，d =2，a 1=2，则a n =2+2(n −1)=2n ；b n =3⋅3n−1=3n ，n ∈N ∗；(Ⅱ)a 1+2a 2+2a 3+⋯…+2a n +a n+1=2(a 1+a 2+a 3+⋯…+a n +a n+1)−a 1−a n+1=2⋅12(n +1)(2+2n +2)−2−2(n +1)=2n 2+4n ．【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q >0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求通项公式； (Ⅱ)由等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：由AM =12MD ，可得点M在AD上，则有AM=13AD，又AN=13AB，所以MN//DB，又MN⊄平面BDP，BD⊂平面BDP，所以MN//平面BDP；(Ⅱ)设G为底面△ABC的重心，Q为AC的中点，如图所示，则BQ=√32×60=30√3cm，GB=23BQ=20√3cm，BN=23×60=40cm，所以GD=√602−(20√3)2=20√6cm，由(Ⅰ)可知MN//DB，且MN⊄平面DBC，DB⊂平面DBC，故MN//平面DBC，所以点M与点N到平面BDC的距离相等，所以三棱锥M−BDC的体积与三棱锥N−BDC的体积相等，又三棱锥N−BDC的体积与三棱锥D−BNC的体积相等，所以V M−BDC=V D−BNC=13⋅S△BNC⋅GD=13×(12×60×40×√32)×20√6=12000√2cm3，所以三棱锥M−BDC的体积为12000√2cm3．【解析】(Ⅰ)利用题中给出的比例关系，由相似比证明MN//DB，利用线面平行的判定定理证明即可；(Ⅱ)设G为底面△ABC的重心，Q为AC的中点，分别求出△BNC的边长与GD的长，利用等体积法V M−BDC=V D−BNC求解即可．本题考查了线面平行的判定以及棱锥体积的求解，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图得：[2.0,2.2)的频率为：(1+3.5)×0.1=0.45，[2.2,2.3)的频率为：2.5×0.1=0.25，估计这批树苗高度的中位数为：2.1+0.5−0.450.25×0.1=2.12．(Ⅱ)按分层抽样方法，从高度在[2.30,2.50]的树苗中任取6株树苗，则[2.30,2.40)中抽取：6×22+1=4株，[2.40,2.50)中抽取：6×12+1=2株，从这6株树苗中任选3株，基本事件总数n =C 63=20，3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40,2.50]包含的基本事件个数：m =C 41C 22+C 42C 21=16，∴3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40,2.50]的概率P =m n =1620=45．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图求出[2.0,2.2)的频率为0.45，[2.2,2.3)的频率为0.25，由此能估计这批树苗高度的中位数．(Ⅱ)按分层抽样方法，从高度在[2.30,2.50]的树苗中任取6株树苗，[2.30,2.40)中抽取4株，[2.40,2.50)中抽取2株，从这6株树苗中任选3株，分别求出基本事件总数和3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40,2.50]包含的基本事件个数，由此能求出3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40,2.50]的概率．本题考查中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)由椭圆的性质可知，{a +c =3a −c =1，解得a =2，c =1， b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆方程为x 24+y 23=1，(Ⅱ)由题意分析可知直线l 的斜率不能为零，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，l 的方程为x =my +1，联立方程{x =my +1x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， △=36m 2+36(3m 2+4)>0，∴y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6m 3m 2+4)2+363m 2+4=12√m 2+1(3m 2+4)2=12√19(m 2+1)+1m 2+1+6，所以当且仅当m =0时|y 1−y 2|取到最大值3，S △ABF 1=12×2c ×|y 1−y 2|≤3，即三角形ABF 1面积的最大值为3．【解析】(Ⅰ)椭圆上的点到焦点最大值为a +c ，最小值为a −c ，即可解出椭圆方程； (Ⅱ)设出直线l 的方程，联立直线和椭圆方程，表示出三角形△ABF 1的面积，即可解出． 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆相交，最值问题，学生的运算能力，属于基础题． 21.【答案】解：(1)由f(x)=lnxln2x ，得f′(x)=ln2x x +lnx x ，∴f′(1)=ln2，又f(1)=0， ∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =ln2(x −1)；证明：(2)ℎ(x)=f(x)−1=lnxln2x −1，ℎ′(x)=ln2x+lnx x =ln2x 2x (x >0)，由ℎ′(x)>0，得ln2x 2>0，即2x 2>1，∴x >√22， ∴当x ∈(0,√22)时，ℎ′(x)<0，当x ∈(√22,+∞)时，ℎ′(x)>0， 则ℎ(x)在(0,√22)上单调递减，在(√22,+∞)上单调递增， ∴ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，又ℎ(1)=−1<0，当x →+∞时，ℎ(x)→+∞，∴ℎ(x)在[1,+∞)上有唯一零点．【解析】(1)求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，再求出f(1)的值，利用直线方程的点斜式的答案；(2)ℎ(x)=lnxln2x −1，求其导函数，证明函数在[1,+∞)上单调递增，再由ℎ(1)=−1<0，当x →+∞时，ℎ(x)→+∞，即可证明ℎ(x)在[1,+∞)上有唯一零点．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，是中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线S 的参数方程为{x =3sinθ+1y =3cosθ(θ为参数，0≤θ<2π).点P(−12,−3√32)在曲线S 上， 所以{sinθ=−12cosθ=−√32，由于0≤θ<2π， 所以θ=7π6．(Ⅱ)曲线S 的参数方程为{x =3sinθ+1y =3cosθ(θ为参数，0≤θ<2π)转换为直角坐标方程为(x −1)2+y 2=9，直线l 过点P(−12,−3√32)，且倾斜角为π3，所以直线的方程为√3x −y −√3=0，由于圆心(1,0)在直线上，故直线l 被曲线S 截得的线段成为圆的直径6．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (Ⅱ)利用直线与圆的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)≤0⇔x|x −3|−4≤0⇔{x ≥3x(x −3)−4≤0或{x <3x(3−x)−4≤0， 解得x ≤4，∴不等式f(x)≤0的解集为(−∞,4]．(Ⅱ)当x ≤3，且x ≠0时，g(x)=f(x)x =3−x −4x =3−(x +4x )， 当0<x ≤3时，x +4x ≥2√x ⋅4x=4，当且仅当x =2时等号成立， ∴−(x +4x )≤−4，3−(x +4x )≤−1，即g(x)≤−1；当x <0时，−x >0，−4x >0，∴−x −4x ≥2√(−x)⋅(−4x )=4，当且仅当x =−2时等号成立，∴3−x −4x ≥7，即g(x)≥7， ∴g(x)的值域为(−∞,−1]∪[7,+∞)．【解析】(Ⅰ)通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式，解出即可；(Ⅱ)求出g(x)的解析式，对x 分类讨论，利用基本不等式即可求得值域．本题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式在求值域中的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．。