振动是质点（或系统）的一种运动形态，是
指物体在平衡位置附近作往复运动。
物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质点的振 动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工 程结构的振动。
自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去 后，系统自身的振动。
受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下
发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。
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课堂思考1：经过10个周期测得的幅值比 r=2，将求该系统的阻尼比D。
课堂思考2：如阻尼比D=0.05和0.2，分别 评价阻尼比对自振频率的影响。
课堂思考3：如阻尼比D=0.05和0.2，分别 评价阻尼比对振幅的影响。
阻尼对振幅的影响要比对自振频率的影响显著的多！
4. 方程解耦
将运动方程解耦成为n个独立的 单自由度强迫振动方程，进而 求解。
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2.9 复杂荷载的处理
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求解微分方程的条件之一： 简单荷载
对于复杂荷载该如何求解？
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1、傅里叶变换分解法：采用傅里叶变换将复杂荷
临界阻尼系数
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过阻尼（D>1）
阻尼比
阻尼的振动的影响决定 于阻尼比D，而不是阻 尼系数c。
临界阻尼(D=1) 弱阻尼(D<1)
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弱阻尼振动
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振幅衰减
对数衰减率
能量衰减率 阻尼使系统的频率降低, 周期加长。 但 阻尼比较小时, 对频率和周期的影响不 大。
2.3 质量-弹簧-阻尼系统的自由振动
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阻尼：振动过程中存在有某种形式的阻力、消耗了能
量、 这种阻力来自于构件之间的摩擦力、润滑表面阻 力、液体或气体等介质的阻力及材料内部的阻力。
牛顿粘滞阻尼 平衡方程
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微分方程
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通解
特征方程
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与荷载频率相同、相位 不同的稳态振动
特解+通解
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衰减的自由振动
稳态强迫振动
幅
与荷载的相位差
频 曲
静位移 放大系数 荷载频率
线
频率比
低频区 共振区 高频区 相 频 曲 线
是影响强迫振动的最重要参数！
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课堂思考：改如何降低强 迫振动的振幅？
载分解为一系列的简单荷载的组合，分别求解后，采用 叠加法得到最终的解答。适用于线性振动系统。
周期信号的傅里叶变换
时域
频域
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离散信号——快速傅里叶变换技术（FFT）
傅里叶谱也被用来分析荷载或振动 的频率特征（卓越频率）
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2、杜哈美积分法：把激振力看作是一系列作用时间很
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由有限个不同频率的简谐振动合成的振动, 如果任意 两个频率之比为有理数 (两个正整数的比值) , 则合成 的振动是周期振动, 但不一定是简谐振动;
如果任意两个频率之比并非均是有理数, 则合成的振 动不是周期振动, 称为准周期振动。
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共振的最早文字记载——公元前6世纪成 书的《旧约· 约书亚记》所记，耶利哥 城在以色列人的齐声呐喊中突然塌陷。
共振频率 常扰力 变扰力
共振放大系数
小阻尼情况下的简化
共振振幅决定于阻尼比！ 30
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2.4.4 基座动作用力分析
基座动作用力
最大动作用力 （常扰力）
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（1）共振； （2）高频系统(大λn，低频率比)-同步振动； （3）低频系统（小λn，高频率比）-减震；
为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率和较小的阻尼。37 不过阻尼也不能太小，否则振动系统在通过共振区时会产生较大的振动。
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2.5.2 质量块的相对运动分析（相对于基座）
（1）阻尼方面； （2）频率方面； （3）荷载大小方面；
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2.4.2 变扰力的强迫振动
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低频区 共振区 高频区
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2.4.3 共振分析 《土动力学基础》 同济大学 高彦斌
共振
某一特定的激振频率下, 振动系统不断累
积能量而使得振幅达到最大。
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2.6 双自由度质量—弹簧系统的自由振动
1、模型与振动方程
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2、特解及主振型
设特解为两个振幅不同、 频率和相位相同的简谐振动
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振型只取决于各质量块位移比值, 与位移具体 大小无关。
系统按照主振型振动时, 两个质量块同时经过平 衡位置, 同时到达最远位置, 按照固有频率作简 谐振动。
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3 通解及振型组合
矩阵形式表述
双自由度系统的自由振动是两种不同频率的固有振 动的叠加, 其结果通常不再是简谐振动；
单自由度振动－一个自由度系统的振动。
多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的
振动。
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振动曲线的特征参数
振幅A－平衡位置附 近振动的最大幅度, 通 常指最大位移值。
周期T－来回振动一 次经历的时间。
频率f—单位时间内振 动的次数, 单位为赫兹 (Hz) 。
相位 φ—某一瞬时所 处的位置与平衡位置之 间的关系。
双自由度振动系统的固有频率（两个）
仅与材料的特性有关！ 代表双自由度振动系统的振动特性！ 引申—有多少个自由度，就有多少个固有频率！
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两个质量块的振幅比 r
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多自由度振动系统的一个新概念-振型
这种特殊振动的振幅比称为振型，每一个主频 率对应一个振型，也称为主振型。
2.2 质量-弹簧系统的自由振动
平衡方程
微分方程 通解 初始条件
特解
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自由振动特征 振动能量
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质量 m 越大, 周期 Tn 越长, 频率 fn越低;
刚度 k 越大, 周期 Tn 越小, 频率 fn越高。
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假定微分方程组的解为与外界扰力同步的简谐振动
两个质量 块的振幅 A和B
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振幅动力 放大系数
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双自由度体系强迫振动特征
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2.8 多自由度系统的振动
A
P0 / k
25（/ 2105）
3.88210-5m=0.03882mm
1 / n 2 2 4D2 / n 2
1
1002 502
2
4
0.29252
1002 502
Fd,max A k 2 c 2 3.882 105 （2 105）2 2340 1002 11.95kN
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4
振动问题的研究方法
选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确 定积分常数。
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2.1 简谐振动
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相同频率的简谐振动的相位分析
证明系数C1和C2的值为
C1
1
d
DnC2
v0
P0 k
cos(0
)
,
C2
z0
P0 k
sin(0 )
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2.5 基座运动引起的振动
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2.5.1 质量块的绝对运动分析
力矢量图与强迫振动相同
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振动特征：
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证明：在以下初始条件下的单质点有阻尼振动体系的 自由振动解。
初始条件
t 0 v v0 z z0
z(t) eDnt C1 sin dt C2 cos dt AeDnt sin(dt 0 )
C1
Dn z0 d
v0
在特殊的初始条件下, 可以实现系数B1和B2中的某一个 为零, 在此情况下系统按某一主振型做简谐振动。
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2.7∗ 双自由度质量—弹簧系统的强迫振动
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证明：
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已知单质点有阻尼振动体系在简谐荷载下P=P0sin(ωt)的强
迫振动解为：