ur p
都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
uuur uuur r uuur r r
OuuPur
OuQuur
zk.
r
OQ r
xi r
y
j. r
z
OP OQ zk xi y j zk. rr r
２．xoy坐标平面
C( x,o, z)
O(0,0,0) o
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0)
内的点的竖坐标为 ０，横坐标与纵坐 标分别是点向两轴
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
作垂线交点的坐标．
单位正交基底：
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂
ur 直，且大小都r为r1，ur那么这个基底叫做单位正交
复习：
共线向量定理:
rrr
rr
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
rr
充要条件是存在实数，量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
Ｐ1
Ｐ1
沿与y轴平行的方向 向右移动４个单位
Ｐ
Ｐ１５ o
2
４
Ｐ
沿与z轴平行的方向 向上移动６个单位
Ｐ
x
2
Ｐ （５,４,６）
６
y
Ｐ2
在空间直角坐标系中,x轴上的点、 xoy坐标平面内的点的坐标各有什么
特点？
１．x轴上的点横
z
坐标就是与x轴交
点的坐标，纵坐标
R(0,0, z)
B(0, y, z) 和竖坐标都是０．
z
墙
墙 地面
4 3
1
O1
4
x
(4,5,3) 5y
从空间某一个定点０
z
引三条互相垂直且有相
同单位长度的数轴，这
样就建立了空间直角坐
o
标系０－xyz．
y
x 点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
i Oj
A(x,y,z) y
标建立起一一对应的关系,从而互 x
相转化.
如果知道有向线段的起点和终点的坐标,
那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
z
经过A点作三个平面
分别垂直于x轴、y轴和z轴，
它们与x轴、y轴和z轴分别
交于三点，三点在相应的
c
Ａ(a,b,c) 坐标轴上的坐标a,b,c组成
o
b
a
y
的有序实数对（a,b,c)叫做 点Ａ的坐标
x
记为：Ａ（a,b,c)
例１
在空间直角坐标系中，作出点（５,４,６）.
分析：
z
Ｏ
从原点出发沿x轴 正方向移动５个单位
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何 关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐 标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交 基，进而确定各向量的坐标。
一 空间向量基本定理：
我们知道，平面r 内r 的任意一个向量
基底，常用 {i, j, k } 来表示.
k
空间向量 ur p
r
i
r r ur
r j
i, j, k 为基底 有序实数组
一一对应 ur r r ur
(x, y, z)
p xi y j zk
因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系
空间直角坐标系
r r ur
在空间选r定r一点urO和一个单位正交基底{i , j, k } 以点O为原
Bx1, y2
OB OA
2、 AB OC a x, y y B
即 点Cx, y
A
C
O
x
提 问:
我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示.
那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?
一、空间直角坐标系
下图是一个房间的示意图,我们 来探讨表示电灯位置的方法.
我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫
做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. uuur
显然, 向量 OA 的坐标，就是点A在此空间直角
坐标系中的坐标(x,y,z).
z
uuur
即 OA ( x, y, z) A( x, y, z)
k
也就是说,以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可以和点的坐
说明:
z
☆我们一般建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o
y
x
空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350 o
x轴上的单位长度为y轴（或z
1350
y
轴）的单位长度的一半． x
有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
平面向量的正交分解及坐标表示 y
a xi y j
r
r
r
r
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0).
i
o
r j
a
x
复习提问：平面直角坐标系中
１、Ax1, y1, Bx1, y2
a
AB x2 x1, y2 y1 Ax1, y1
点，分别以 i , j, k 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，
这样就建立了一个空间直角坐标系Or —rxyuzr . x 轴、y 轴、z 轴，都叫 做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量i , j, k都叫做坐标向量.通过
r 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面. 对空间任一向量 a ,由空间
za
向量基本定理，存在唯一的有序实
数组
(a1
,
a2
,
a3
),使
r a
r a1 i
a2
r j
a3
ur k.
k
有序实数组 r
(a1
,
a2
,
a3
)
就
i Oj
叫 下做 的坐a 在标这. 一记空为间ar直角(a坐1,标a2系,a3
)
x
.
A(a1 , a2 , a3 )
y
对应uu在一ur 空个间向r直量角OuurA坐ur,标于系是ur O存在– x唯y一z 中的，有对序空实间数任组一x,点y,Az,, 使 OA xi y j zk (如图).