平面向量的正交分解 及坐标表示
复习
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2
复习
a= λ1 e1+ λ2 e2
(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；
a = ( x, y )
y yj j O i a
i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
xi
x
y
向量a、b有什么关系? a＝b
yj yj j O i
a
b
能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi xi x
相等的向量坐标相同
y
a A (x,y)
如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的 条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是被 a ,e1、 e2唯一确定的数量。
新课引入
F1 G F2
G=F1+F2 G与F1,F2有什么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
-4 -3 -2 -1O -1 -2 c -3 -4 -5
i1 2 3 4 x d
d=2i-3j=(2,-3)
例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. y b 2i 3 j 5 B AB 2i 3 j 4 b ( 2, 3) (2,3) a 3
6、已知B的坐标是 m,n ,AB 的坐标为(i,j),则点A A 的坐标为
A、7,1
B、-7， C、-7,1 D、7， -1 -1
A、(m-i,n-j)
C、(m+i,n+j)
B、(i-m,j-n)
D、(m+n,i+j)
小结 平面向量的正交分解
平面向量的坐标表示
y
j O i
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； x
反过来，点A的坐标（x,y)也就是 向量OA的坐标。
x
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a (1, 2)
解：
y
(2)b (1, 2)
y yj j O i a
xi
分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a,由平面向量基本 x 定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标
B(1, 2)
y
o
. A(1, 2) a x
.
b
o
x
如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d ,并 求出它们的坐标.
b y 5 4 3 2 j1 A2 a A A1
解： 由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,
a=(2,3) 同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱF2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
4、若向量a= 1, 1 ,b= 1, -1 ,c= -1, 2 ,那么 等于 B c 1 3 1 3 3 1 3 1 A、 a+ b B、 a- b C、 a- b D、 a+ b 2 2 2 2 2 2 2 2 5、已知a= 3,-1 ,b= -1,2 ,那么-3a-2b等于 B
A、(3,2) B、(2,3) C、(-3,-2) D、(-2,-3) 2、若向量a= x-2,3 与向量b= 1,y+2 相等，那么 B A、x=1,y=3 B、x=3,y=1
随堂练习
C、x=1,y=-3 D、x=5,y=-1 3、已知AB= x,y , B的坐标是 -2,1 ,那么 的坐标为 OA C A、(x-2,y+1) B、(x+2,y-1) C、(-2-x,1-y) D、(x+2,y+1)
2 1 -4 -3 c 2i 3 j -2 -1
O
A 2 3 4
x
1 i -1
j
( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
1、 4,6 ,且a=2b,那么 的坐标是 B a= b