三角形的定比分点公式及应用
河南驻马店 郭新华
本文从有向面积的定义推导出三角形的定比分点公式及其推论，并揭示该公式和梅涅劳斯定理，塞瓦定理，凡·奥贝尔公式以及调和点列公式的内在关系，同时举例说明其应用。

1. 预备知识
定义 三角形的有向面积是指通常所知的面积大小加上正负号。

当三个顶点逆时针排列时有向面积为正，反之为负，三点共线时为零。

为简化叙述，约定AB 表示有向线段AB 的数量，ABC ∆表示△ABC 的有向面积。

由定义，△ABC 的有向面积表达式有下列关系：
ABC ∆=BCA ∆=CAB ∆=BAC ∆-=ACB ∆-=CBA ∆-.
对于△ABC 所在平面上任意点P ，AP 的连线交边BC 所在直线于D ，如图1-1，图1-2所示，有
PCA PBC PAB ABC ∆+∆+∆=∆ .
及
AD
PD
ABC PBC =∆∆ 2. 三角形的定比分点公式
设点P 在△ABC 所在平面上，直线AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 所在直线于D ，E ，F ，如图2-1，图2-2所示，则
111
11113
21=+++++λλλ （1） 其中PD AP =1λ，PE BP
=2λ，PF
CP =3λ.
证明：因为
AD PD ABC PBC =∆∆PD AP PD +=1
11
λ+= 类似地 BCA PCA ∆∆211λ+=，CAB PAB ∆∆3
11
λ+=.
所以321111111λλλ+++++=ABC PBC ∆∆+BCA PCA ∆∆+CAB
PAB ∆∆=1 变形1
21113
32211=+++++λλλλ
λλ （2） 变形2 3213212λλλλλλ=+++ （3） 式（1）展开既得式（3）
3 三角形的定比分点公式的推论
如图2-1所示，当点P 在△ABC 内时，321λλλ，，均为正数， 记 321λλλ++=U ，
313221λλλλλλ++=V ， 321λλλ=W .
则有如下推论： 推论1 321λλλ++≥6. 证明：由3211111111λλλ+++++=
≥3
2139
λλλ+++ ⇒321λλλ++≥6. 记为 U ≥6
推论2 321λλλ≥8，记为W ≥8， 由式（3）和推论1可得 推论3
3
2
1
1
1
1
λλλ+
+
≥2
3
证明 由（332211111λλλλλλ+++++）（3
3
2211111λλλλλλ+++++）≥9 ⇒
3
211
11
λλλ++≥2
3
133221λλλλλλ++≥3212
3
λλλ 记为 V ≥2
3W
推论4 313221λλλλλλ++≥）（3212λλλ++
证明 对于任意的正数a ，b ，c ，由熟知的不等式 ）（a c b -+）（b a c -+）（c b a -+≤abc . 令a c b 1+=
λ，b a c 2+=λ，c
b
a 3+=λ， 则有 ）（1-1λ）（1-2λ）（1-3λ≤1
又 1λ，2λ，3λ满足式（1） 将上式展开即得推论4. 记为 U ≥2V
推论5 321λλλ）（321λλλ++≥4）（133221λλλλλλ++
证明 因为（
3
32211111λλλλ
λλ+++++）[）
（）（）（332211111λλλλλλ+++++] ≥2
321）（λλλ++
⇔）
（3212322212λλλλλλ+++++≥2
321）（λλλ++ ⇔）
（3213322212λλλλλλ+++++≥2）（313221λλλλλλ++ ⇔）（）（3212
3212λλλλλλ+++++≥4）（313221λλλλλλ++
⇔321λλλ）（321λλλ++≥2）（313221λλλλλλ++
记为 UW ≥4V 或V 2+2U ≥4V 推论6 1
33
22
11
1
1
λλλλλλ+
+
≤2
3
⑤
证明 令a c b 1+=
λ，b a c 2+=λ，c
b
a 3+=λ，a ，
b ，
c ＞0，则 a)
(c c b ab 1
2
1++=
）（λλ≤）（a c a
c b b 21+++ 类似的
3
21
λλ≤）
（
b
a b
a c c 21+++ 1
31
λλ≤）
（
c
b c
b a a 21+++ 以上三式相加即得推论6.
推论7 6321+++λλλ≥）（1332212λλλλλλ++ 证明 3
322111112λλλλ
λλ+++++=
≥3
212
3213λλλλλλ+++++）
（
⇒ 6321+++λλλ≥）（1332212λλλλλλ++ 推论8 21λλ≥
12
3
+λ，32λλ≥
12
1
+λ，13λλ≥
12
2
+λ.
证明 由321λλλ=2321+++λλλ，得
21
-32321++=λλλλλ）（ ⇒））（1(1-32321
+λλλλλ≥）1(232+λλ ⇒）（1-321
λλλ≥2 ⇒32λλ≥
12
1
+λ.
类似的可证其余两个。

以上结果仅仅是三角形定比分点公式的基本推论，结合常见的不等式还可推导出许多结论，这里不再赘述。

4.三角形的定比分点公式和几个定理公式的关系
如图2-1，所示图2-2，令α=FB AF ，β=DC BD
，γ=EA
CE . 由塞瓦定理，有1=αβλ.
又CF 截△ABD ，由梅涅劳斯定理，有
1-=⋅⋅PA DP CD BC FB
AF
则 )1(DC
BD
FB AF DC BC FB AF PD AP +=⋅= 即 ）（βαλ+=11
同理 ）（γβλ+=12，）（αγλ+=13 塞瓦定理和梅涅劳斯定理结合，易得
γ
αλ1
1+
=，α
βλ12+=，β
λλ1
3+
=
即
EC AE FB AF PD AP +=,FA BF DC BD PE BP +=,DB
CD
EA CE PF CP +=. 由此可知
已知α，β，γ，1λ，2λ，3λ和R λ，S λ，T λ，九个参量中的两个，
可推导出其余七个.
参考文献
[1] A.；洛普希兹[苏联青年科学丛书].19.《有向面积的计算》.
[2]《近代欧氏几何学》[美]约翰逊著单墫译.。